M <- diag(rep(1,3))
p <- 1
q <- 1
r <- -1
dt <- 0.001
M[1,2] <- p * dt
M[2,3] <- q * dt
M[3,3] <- 0
M[3,1] <- r
X <- c(0,1,0)
n.step <- 10000
X. <- matrix(0,n.step+1,3)
X.[1,] <- X
for(i in 1:n.step){
X.[i+1,] <- M %*% X.[i,]
}
matplot(cbind(X.),type="l")
-
- 空間
- 空間というのは、「隣」を持つ構造(ただし0次元空間は例外)
- 位置・座標
- 空間に要素が存在するとき、要素には位置という属性が生じる
- 位置は時間変数であり、そこには、時空間には、軌道という１次元多様体を考えることが普通で、それは微分可能な曲線と考えることもあれば、酔歩様の動きをとらえることもある。いずれにしろ、うまくすれば微分方程式・確率微分方程式の解となっていることもあろう
- このように考えるとき、位置は単なる時間変数として扱えばよいに過ぎない
- 空間が本領を発揮するのは複数要素がある場合と「場」を想定する場合
- 複数要素に空間情報を用いて相互作用を想定するというのは、要素の組(たいていはペア)について、要素の位置を引数とする『距離』を定め、それが要素の属性である時間関数の時間微分方程式の項の係数となることを意味する(ことがほとんどのはず)
- ここで『距離』というとき、場に重力場を想定すれば、ユークリッド距離を『距離』としてその-2乗に比例する値を係数とするし、もしも、空間がグラフのようなものであれば、グラフ上の『距離』をとったり、グラフ上の連結を持って『距離=1』、それ以外は無限遠とするなど、さまざまな定め方がある
- したがって、「係数」のつけ方自体を「複数要素の空間情報の関数」とすれば、『空間情報依存の係数』を問題にするということになる
- 『係数』が0になる要素の組があるかどうかで、処理を書き換えることはできるが、それは便宜的なことに過ぎない
- 『場』とは何かと言えば、『空間情報依存の係数』を定める関数のことであり、一様な場とは、その関数がどこも同じであることを意味し、一様でない場とは、その関数が空間情報の関数になっていることを意味する
- 要素が空間に位置している場合の他に、空間に流体が充満している場合がある。場全体に関数(空間情報の関数)があり、それが時間で変化することを意味する
- 場に置かれた関数は大変そうであるが、実は、場を想定すると、空間的には「隣接位置同士」の相互作用のみを考慮すればよくなり、これは「マルコフ連鎖」で直近の情報のみに依存することを考慮したことに対応する
- 動きとは
- 要素が空間にあり、それが動くとは、位置が時間の関数になるということである
- 要素間相互作用とは要素間の位置情報の関数を係数とすることであった
- したがって、動きを伴う要素の相互作用を考えるとき、「位置」という時間関数と、それ以外の属性という時間関数との積が、微分方程式に登場することがわかる
- 一般に、統計解析・データマイニングでは因子の線形処理・一般化線形処理は容易であるので手法が揃っているが、因子の積の項を考慮することは、苦手であるし避けられれるならば避ける傾向がある
- したがって動きのある要素の相互作用を含む解析は、この因子の積の項を必然的に含む、という特徴があることがわかる
- では、「場」を考えるとどうなるだろうか。「場」を考えるとき、「動かない」ので、何か、楽になるのではないだろうか…(予想 ）
