離散版多様体の広がり

• n次元空間にk次元多様体が広がる様子を離散的に取り扱うとする
• 今、k次元多様体が辺縁を持って素直に(交叉したりしない)広がっているとき、その辺縁から、さらにもう１ステップ広がるときのこと
• k次元多様体にk次元多様体がk-1次元多様体を接着部分としてくっつく
• 今、離散版で考えているので、k次元多様体は頂点数がk+1であるところのk単体がk-1単体を接着部分として広がっていて、すべての辺縁はk-1単体の連なりになっている
• ここに少なくとも１つのk-1単体を接着面としてk単体が張り付くことがk次元多様体の拡大の離散表現とする
• 少なくとも１つのk-1単体を接着面とするわけなので、最大では、k単体が持つ、k+1個のk-1単体で接着することになる
• k+1個のk-1単体での接着というのは、ジグソーパズルのピースが穴にぴしりとはまって隙間がなくなるときのような接着のこと
• さて、接着k-1単体の個数と、その接着によって、「辺縁だった0,1,2,...,k-1単体のうちのどれが内部化するか」を考えてみる
• 1個のk-1単体で接着する場合には、接着部分であるk-1単体は内在化するが、その接着k-1単体の構成要素であるk-2,k-3,...,0単体は内在化しない
• 2個のk-1単体で接着する場合には、接着部分であるk-1単体は内在化し、2個のk-1単体の接着部分であるk-2単体も内在化するが、それ以外のk-2以下の単体は内在化しない
• 3個のk-1単体で接着する場合には、3個のk-1単体は内在化し、k-1単体のペア(３ペア)の共通領域であるk-2単体が内在化し、k-1単体のトリオ(１トリオ)の共通領域であるk-2単体が内在化し、それ以外のk-2以下単体は内在化しない