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ぱらぱらめくる『Applications of RANDOM FIELDS AND GEOMETRY Foundations and Case Studies』

Random Field 幾何 微分幾何 integral geometry excursion sets ぱらぱらめくるシリーズ
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  • 目次(未完なので、Part II までしかない！)
  • Part 0
    • 0 Preface
    • 1 Introduction
  • Part I The Underlying Theory
    • 2 Random Fields
    • 3 Geometry
  • Part II Quantifiable Properties
    • 4 The Expected Euler Characteristic
    • 5 Exceedence Probabilities
    • 6 The Structure of Excursion Sets
  • Part III Numerics
    • 7 Simulating RandomFields
    • 8 Discrete Approximation
  • Part IV Applications
    • 9 Neuroimaging
    • 10 Astrophysics
    • 11 Oceanography
    • 12 Miscellaneous
  • 1 Introduction
    • Gaussian random field
      • 空間に1次元の値があって、その値の集合がガウス分布になっているとき、それはGaussian random field
      • 空間にd次元の値がそれぞれGaussian random fieldとなっているときに、d次元ベクトルの長さの二乗(カイ二乗)をとって、「空間に非負の１変数分布」を作ってやれば、多次元拡張できる
      • その単純なモデル
        • 平均0、分散はいたるところ共通で、stationaryでisotropicに制約するのもよい
          • この制約では、空間的にいたるところ共通な分散というパラメタを持つ
        • もう一つのパラメタは時間変化のパラメタ
        • これですべて
    • 形とオイラー標数
      • 多面体の場合
        • P-E+F-Q = C - H + H^*
          • ただしPは点の数、Eはエッジの数、Fは面の数、Qは張り合わせた多面体の数(多面体の張り合わせによって、一緒になることで数えられなくなる面が生じるが、それに対応して、面・エッジ・点の数が減るわけだけれど、それが張り合わせの数で代表できるということ)、Cは不連続立体の数、Hは立体的穴の数、H^*は立体にできる中空の数
        • 左辺のP-E+F-Qは、構成する凸多面体のそれぞれと、その張り合わせ具合によるけれど、右辺のC-H+H^*はただ単に位相的な不変量
        • なので、ある固体があったとき、位相を変えないように多面体として表してやれば、位相不変量はわかることになる
    • 宇宙の銀河の散らばり具合はGaussian random fieldなのか
      • これを、銀河が作る密度分布ととらえて、そのexcursion setsが閾値によってどのように変化するかで特徴づけるとする
      • 特徴づけるに際して、excursion setsのオイラー標数を算出する
      • 実データから推定された密度分布からのそれと、Gaussian random fieldを仮定したときのそれとの異同を数値化すれば検定になる
    • 脳の高活動領域分布について検定する
      • 脳のある部位があるタスクに応じて特異的に高活動になるかを検定したい
      • 脳という変な形に、活動量という分布が生じる。それがGaussian random fieldなのかそうでないのかが知りたい。ランダムにしてはとびぬけて高活動な部分なのかどうかは、Gaussian random fieldのexcursion setsのオイラー標数期待値がわかっていれば、次のようにして評価できる
      • 特に高活動なところを取り出すときには、そのような『ピーク』は１か所であって、ただの塊(穴もなければ中空もなく凸多面体のような…)のはずである。そのような１個のただの塊のオイラー標数は１であるから、それを使う
    • オイラー標数の期待値E(\psi(A_u))
      • 期待値は、"parameter space"の大きさを係数とした式になる
      • この「大きさ」というのは、次元ごとに定まる
      • E(\psi(A_u))=
      • (\frac{L_3\lambda^{3/2}(u^2-1)}{(2\pi)^2} + \frac{L_2\lambda u}{(2\pi)^{3/2}} + \frac{L_1 \lambda^{1/2}}{2\pi})\times e^{-u^2/2} + L_0(1-\Phi(u))
        • ただしuはexcursion setsの閾値、\lambdaはGaussian random fieldを定めるパラメタ、\Phiは観察データを得るにあたって想定する正規乱雑項を定める分布関数
        • ３次元空間の場合は、値分布が広がる形に関して、３次元の大きさである体積(L_3)、２次元の大きさである表面積の半分(L_2)、１次元の大きさであるcaliper diameterの２倍(L_1)(ただしcaliper diameterというのは、直径の平均のようなもので、ありとあらゆる方向で２つの並行面で形を挟んだ時のその並行面間距離の平均値。穴や中空があるときには、外からパッと見た感じより小さい値になることに注意)、そして最後は０次元の大きさであるオイラー標数そのもの
  • 2 Random Fields 飛ばします
  • 3 Geometry
    • Integral Geometry
    • Lipschitz-Killing curvatures
    • Measures