等長線分で作る閉曲線 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

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きちんと閉じるための条件などを考えたい
n本の線分を連結し、その両端点間距離がゼロであることが「閉じる」ということ
n=1のとき、両端点間距離は１(長さが１の線分で作る場合)
n=2のとき、両端点間距離は0-2
n=3のとき、両端点間距離は0-3
n=nのとき、両端点間距離は0-n
ただし、はじめのn-1本の連結線分の両端点間距離がLのとき、n本目を連結すると、最短 $|1-L|$ 、最長 $1+L$ となる
また、n本目を連結して、ちょうど閉じるためには、n-1本の両端点間距離はちょうど１である必要がある
n-1本目までの距離に対して、n本目を連結したときに取りうる距離は連結角の関数として $\sqrt{1+L^2 + 2L \cos{\theta}}$ と表される

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２個の等長線分を連結し、その両端を固定する

このとき、両端点間距離は0～2
長さがいずれの値であるにしろ、いったん平面に置いてしまうと、動かせない
両端点間距離が2より短いときには、上に凸と下に凸との２つの対称的な置き方が可能だが、その２つの置き方を連続的に行き来することができない、ということである
では３個の等長線分を連結し、その両端を固定する
中間に２つの関節がある、これらはぐねぐねと動かせる
今、両端点間距離をLとし、両端点座標を $(0,0),(L,0)$ とする
中間の２点の座標を $(x_1,y_1) = (\cos{\theta_1},\sin{\theta_1})$ 、 $(L-x_2,y_2) = (z_2,y_2) = (L-\cos{\theta_2},\sin{\theta_2})$ とする
このとき式変形をすることにより
$x_2 = \frac{1}{2}(L-x_1) \pm y_1 \sqrt{\frac{3+2x_1 \times L - L^2}{L^2 - 2 * x_1 L +1}}$ が得られる
これをRで実装し、お絵描きしてみる

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緑と赤の線分が対称的になって少しスペースの空いたところがある。ここは「上凸・下凸変換可能性箇所」とでも呼ぶ領域になる。その説明を以下にする
緑の線分と赤の線分とは、二次方程式の解のペアに相当する。この２つの階が重解になるときは、緑の線分と赤の線分が一致し、そのときには、２線分が上にも下にも凸ではない平坦になる
逆に言うと、この重解のときは、上に凸と下に凸との入れ替えがスムーズに可能であることとなる
したがって、緑の線分を徐々に変化させ、緑と赤とが一致するところで色を変え、赤の線分を徐々に変化させることによって、中間２関節位置が同じで、上に凸と下に凸の２状態との間を行き来することができる

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