一意化定理
- どんな単純につながった平面上の形も、共形変換をすることで単位円板に変形することができる
- これを使うと、複素半平面の原点から生えてくる曲線が伸びるたびに複素半平面から伸びた部分を除いた部分を複素半平面に共形変換するということを繰り返すことができて、その結果、複素半平面の曲線(それは実軸に押し込まれてしまっているのだが)に対応した、座標系が得られる。そして、この曲線に対応する実軸上の1次元運動とも１対１対応する(SLE曲線)
- リッチフローは多様体のガウス曲率を定曲率に均すときに使える
- ３次元空間にある任意の球と同相の曲面はリッチフローを均す方向への変形で単位球面に変形することができて、そのとき、曲面は共形変換になることが知られている
- これを曲面の３次元埋め込みで考えれば、３次元の形を表面の共形変換を維持しながら単位球に変えることができる
- この変形と上述の複素半平面での共形変換と曲線との関係と引き比べれば
- 繰り返し保たれる・維持されるのは、「共形変換する座標系を持った複素半平面」〜「表面に共形変換する座標系を持った球面」。「１次元の動き」〜「単位球面上の動きの場の時間変化」。「曲線」〜「３次元の形」
- 一意化定理っていうのは、リーマン面が曲率一定の曲面に共形変換をしながら変換できることを説明している。そして、それを2次元的な広がりを持つ多様体へのアナロジーとしたものが、リッチフローによる変形で、曲面上に共形変換を作りながら、(ガウス)曲率が一定の形(球、トーラス…)への変形
- このとき、共形変換では、各所で直交する座標系であって、そこでの伸び縮みに関して正の実数を対応付けるようなそんな座標系が取れる。それをisothermal coordinateと呼ぶ。このisothermal coordinateの指数関数がガウス曲率と関係している
