ブラウン運動とその極限

  • SLEというのがあって、これは、ブラウン運動を駆動関数とする微分方程式であって、共形変換することで、複素半平面に曲線を成長させながら、常に、曲線の成長は複素半平面全体への伸びであるように扱うというそんなものであって、相転移とかを起こす話だった
  • それを三角分割と絡めてやるという。三角分割を無限に大きな多角形を無限に大きな点を用いた三角分割において、あるスタートエッジからステップを追って、「剥いていく」という作業をすることを考える。特に、SLE6と呼ばれる、自身に無限回接触するようなパラメタ設定の曲線の場合には、この「剥いていく」作業によってフラクタルな境界線が作れる
  • フラクタルなので、その長さの次元のようなものが気になるが、確かにそういうものがある
  • さて、この「離散的なステップを極限までスケールを小さくする(scaling limitを取る)ということをするのが、ちょっと楽しいわけだけれど、これを、「木」というグラフにすることも楽しいらしい。ランダムな木を無限に大きくしつつ枝分かれも無限大にするのは、三角分割のScaling limitを考えることになるが、そこでも、木の構造をブラウン運動としてとらえることができる、というのが、Brownian map
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