2021-02-24

Plucker座標

３次元空間の直線を考える
直線上の２点のユークリッド座標を決めれば、その直線上の点の座標を計算することができる
別の方法で直線に座標を与えたい
２点のユークリッド座標の代わりに、その斉次座標を考える
この２点は、 $(x_0:x_1:x_2:x_3),(y_0:y_1:y_2:y_3)$ と４つの値の組で表現できる
射影幾何的には、 $(x_1/x_0,x_2/x_0,x_3/x_0)$ が等しい点の集合が原点を通る４次元空間の直線ともみなせる
今、３次元空間の２点を通る直線を考えると、第１点の自由度は３、方向ベクトルを定めると、自由度は２なので、併せて自由度は５
斉次座標的に自由度５のものを定めるには、６つの値の組であればよいことになる
その作り方が以下のようになる
$\begin{pmatrix} x_i, y_i \\ x_j,y_j \end{pmatrix}; 0 \le i < j \le 3$ なる２ｘ２行列を６個、作る
それぞれの２ｘ２座標の行列式 $x_i y_j - x_j y_i$ の値を取ると、６個の値が作れる
並べ方は $(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12})$ 。ただし、 $p_{31} = -p_{13}$ は、 $i > j$ の行列式になっている
この６個の値の組をPlucker 座標と言う
また、この６個の値の組の代わりに $\begin{pmatrix} x_i,y_i \\ x_j y_j \end{pmatrix}; 0 \le i , j \le 3$ なる２ｘ２行列を１６個、作り、４ｘ４行列の成分とする
その４ｘ４行列の成分 $m_{i,j} = \begin{pmatrix} x_i,y_i \\ x_j y_j \end{pmatrix}$ とすると、対角成分は０で、反対称行列になる。したがって、情報は冗長で、あくまでも６つの値で決まる行列であるが、反対称行列が出てくるところが、団代数的。
ちなみに、この直線をある２点の斉次座標から定めたが、別の２点のペアから始めても、得られる６つの値の組は「同じようなもの」にならなければ、この方法がうまく行っていることにはならない
別の２点の斉次座標は、最初の２点の斉次座標の線形和で表される(射影幾何のルール)。しかも線形独立
そのような別の２点の斉次座標から、２ｘ２行列を取り出してその行列式を計算すると、元の対応する行列式にある値をかけたものになっており、その「ある値」は、２ｘ２行列の取り出し方によらず同じである(ちなみにその「ある値」は、はじめの２点の斉次座標を並べた４ｘ２行列Ｍと、別の２点の４ｘ２行列Ｍ’との間に、と言う関係がある(ただしは２ｘ２行列)ときの、の行列式になっている。これは、正方行列が積の関係のとき、であることからわかる
- この $M' = M \Lambda$ と表せることが、「別の２点の斉次座標は、元の２点の斉次座標の線形和」ということ
この意味で、６つの値のペアは、どんな２点をとっても、その比は同じと言う意味で斉次座標的な性質になっている
ちなみに、Plucker 座標系は、グラスマン座標系の特別な場合(Mathwordlの記事参照)
- グラスマン多様体は、n次元空間に張られる、0,1,2,...,n次元線形部分空間を全部ひっくるめたもの
- 特定のk次元部分空間をまとめたものをG(k,n)と書く
- このとき、 $_nC_k$ 個の、det(kxk行列)がグラスマン多様体
- Plucker座標は、k= 2のときで、３次元空間の場合は、n=3だから、 $_3 C_2 = 6$ だから、６変数座標

# plucker座標算出関数
my.plucker <- function(x0,y0){
  X0 <- c(1,x0)
  Y0 <- c(1,y0)
  
  M0 <- cbind(X0,Y0)
  
  p.id <- rbind(c(1,2),c(1,3),c(1,4),c(3,4),c(4,2),c(2,3))
  p0 <- rep(0,6)
  for(i in 1:6){
    tmp <- M0[p.id[i,],]
    p0[i] <- det(tmp)
  }
  p0
}

my.plucker.matrix <- function(M0){
 
  p.id <- rbind(c(1,2),c(1,3),c(1,4),c(3,4),c(4,2),c(2,3))
  p0 <- rep(0,6)
  for(i in 1:6){
    tmp <- M0[p.id[i,],]
    p0[i] <- det(tmp)
  }
  p0
}
# 直線を通る２点
x0 <- rnorm(3)
y0 <- rnorm(3)
p0 <- my.plucker(x0,y0)
p0
# この直線を通る別の２点

t <- rnorm(2)

x1 <- x0 + t[1] * (y0-x0)
y1 <- x0 + t[2] * (y0-x0)

p1 <- my.plucker(x1,y1)
p1

p1/p0

## 線形変換

M0 <- cbind(c(1,x0),c(1,y0))

n.pt <- 100
ps <- matrix(0,n.pt,6)
Lambdas <- list()
for(i in 1:n.pt){
  tmp <- matrix(rnorm(4),2,2)
  Lambdas[[i]] <- tmp
  Mtmp <- M0 %*% tmp
  ps[i,] <- my.plucker.matrix(Mtmp)
}

ratio.rows <- apply(log(abs(ps)),2,diff)
range(apply(ratio.rows,1,diff))