ぱらぱらめくる『Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems』

• こちらで｢曲線」の解析をしようかなー、と思って書きかけたけれど、数学をやっておかないと太刀打ちできない感じなので、(過去１カ月以上、この周辺のメモをこちらのブログにも書き続けてきて、まだ解らないのか、と暗澹たる気分にもなるけれど)、改めて、『何が』『どう問題』で『応用するには何を押さえる必要があるのか』というあたりに焦点を当てて『ぱらぱら』することにする

Cartan for Beginners: Differential Geometry Via Moving Frames and Exterior Differential Systems (Graduate Studies in Mathematics)

• 目次
  • Chapter 1. Moving Frames and Exterior Differential Systems
  • Chapter 2. Euclidean Geometry and Riemannian Geometry
  • Chapter 3. Projective Geometry
  • Chapter 4. Cartan-Kahler I: Linear Algebra and Constant-Coefficient Homogeneous Systems
  • Chapter 5. Cartan-Kahler II: The Cartan Algorithm for Linear Pfaffian Systems
  • Chapter 6. Applications to PDE
  • Chapter 7. Cartan-Kahler III: The General Case
  • Chapter 8. Geometric Structures and Connections
  • Appendix A. Linear Algebra and Representation Theory
  • Appendix B. Differential Forms
  • Appendix C. Complex Structures and Complex Manifolds
• Chapter 1. Moving Frames and Exterior DIfferential Systems
  • ３次元ユークリッド空間における曲面の一致について、座標を用いて表現する。それにあたり、微分した量の不変性、その量の特定の回転による不変性などを説明する
  • それをとっかかりとして、座標を用いずに媒介変数と媒介変数表示においてその不変量がどのようになるかを説明する
  • また、座標を用いても用いなくても、変数の関数として曲面が表現されるわけだが、不変量がその関数の微分で表されることが示される
  • さらに、それをうまく実現する道具立てとして微分形式が示される
  • 「商」との関わりも導入され、そこからリー群的な説明が続く
  • その部分は、より簡単な２次元曲線で展開される
  • このようにして、座標を使わない曲面・曲線の道具立てをユークリッド幾何を舞台に説明した上で、それがそれ以外の幾何でも成り立つことを述べ、その上で外微分についてのより詳しい説明に進む
  • 曲線を媒介変数で表したとき、媒介変数という１次元実数空間の点に、Moving Frameを含めた直交基底を対応づけることができる。これは、「原点」を曲線上の点とし、その上に正規直交基底を乗せているものである。この「原点」と「正規直交基底」とを合わせると、曲線が存在してい次元より１大きい値を１辺とする正方行列と対応づけることができる(｢原点分の並行移動」と「回転行列」とを合わせたもの)で、それが「群」をなしていることを使って、議論できる。
  • 外積代数で表せること〜微分形式が通用していることを示す。
  • 群に話が落とせて、さらにその行列表現が得られるので、この行列の世界で「微分して不変」なものを探すと、弧長パラメタと曲率に相当するものがえられる/フルネ-セレ行列が得られる
  • ユークリッド幾何以外に広げるときには、ユークリッド変換を「並行移動」＋「回転」であるとし、それによって曲線をうまく重ねられるかを考えた。そのために、対応する行列・群をとったのだが、ここを、異なる形式の変換(それが何を保存する変換かによって幾何が異なってくるわけだが)によってうまく重ねられるとして、行列・群の形を変えればよい
  • なんらかの座標を張りつけて、その後で、「引き戻す pull-back」するという操作をしている、というように説明する(こともある)
  • ユークリッド幾何の場合は、その張りつけと引き戻しが素直だが(？)、非ユークリッド幾何の場合は、どんなものを張りつけるか、それの引き戻しがどうなるか、がわかりやすくないこともある(ので検討が必要)、というようなことが複素射影空間(１次元)を例に説明されている
  • 外微分
    • 『微分方程式が、微分形式に書きかえられること』『座標がない表現になること』
• Chapter 2. Euclidean Geometry and Riemannian Geometry
  • 慣れ親しんだユークリッド幾何と、非ユークリッド幾何だけれど、その作りが比較的わかりやすいリーマン幾何とを対比させて、行列表現や群表現を使いながら、外微分・Moving Frameの取り扱いを進める
• Chapter 3. Projective Geometry
  • 射影幾何はグラスマニアンなど、解りやすいが、ユークリッド的出ない部分が強い幾何で、そこにおけるMoving Frame、外微分について話を展開