3D構造の数理解析 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

Mathematical Analysis Techniques of Frontal Sinus Morphology, with Emphasis on Homoという論文にみる、解析手法を眺めてみる
面積・体積計算:flood-filling 法 (Wikipedia記事)(ITKでFloodfilling) (Rで書かれた関数)
- 体積の時間変化のモデル化:シグモイドカーブ $V(t) = V_{\infty} \frac{1}{1+\alpha e^{-rt}}$
- 断面積の時間変化も同様にシグモイドカーブでモデル化: $A(t)=K\frac{1}{1+\alpha e^{-rt}}$
断面周縁のFourier Descriptors
- flood-filled領域の重心を原点とする
- 周縁をピクセル正方形の外周を用いて多角形とする
- 重心からの角座標を考えることとし、等間隔角整数座標( $\frac{2 \pi}{180}$ とか)をとり、外周多角形頂点のうちその角度方向に一番近いものを採用する。こうすることで、ほぼ等角間隔方向の頂点からなる多角形に近似される。さらにちょうど等角間隔方向の座標を線形補間で近似する
- 等角間隔座標になったので、各方向の半径を角座標の関数と見て、離散フーリエ展開ができる
- 強スペクトルのみに絞って逆フーリエすればスムージングできて、残差も計算できる
SVDでスムージング
- 複数サンプルがあれば、複数の等角間隔半径データが得られる。それを長方形型行列と見てSVD(singular value decomposition)すると、複数サンプルの共通形の取り出しになる。サンプルの数の対角成分が得られる。これは、「サンプルの平均形」というようなものであり、スムージングもされた形になる。そこからのずれがサンプル特有の「残差」となる
フラクタル次元
- 形があったとき、その周長と内部面積との関係はフラクタル次元で情報化することができる
- Rでフラクタル次元(fractaldim package)
- フラクタル次元で画像解析(ペイパー)
PCM(Percoration Cluster Model)でフラクタル図形
- パーコレーション理論
- Rでパーコレーション・クラスター(SPSL package)