- 単体的複体によって位相を表現する
- 単体的複体を構成する、1-単体、2-単体、...、k-単体, ... とすると、1,2,...k-単体の集合ごとに「層」を作って評価する
- k-単体の集まりを考えるとき、k-単体のそれぞれを「基底の１つ」としてアーベル群を構成する。それがk次チェーン
- k次チェーンごとにある計算式を与えると、値の列が単体的複体に与えられる。それがスペクトル
- このスペクトルにはk-次の穴の情報がある
- 三角形(中身が詰まっている)は以下のようになる
- sagemathのマニュアル
- sagemathのバージョンによって、simplicial compexの定義の仕方に変遷があるので要注意
- 以下の例は、sagemath9.1で実施したもの
- SimplicialComplex()関数には、充実した単体(の頂点集合)を二重リストで与えている
S = SimplicialComplex([[0,1,2]])
S.homology()
{0: 0, 1: 0, 2: 0}
- 三角形だが中身が詰まっていないものは、３辺で、その３辺がサイクルを作る。このサイクルは「穴」
S = SimplicialComplex([[0,1], [1,2], [0,2]])
S.homology()
- 1次の穴(三角形のトンネル)があることが1 : Z として現れる。
{0: 0, 1: Z}
- 中身の詰まっていない２つの三角形を１辺で張り合わせると、1次の穴が２つある
S = SimplicialComplex([[0,1],[1,2],[2,0],[3,1],[2,3]])
S.homology()
{0: 0, 1: Z x Z}
- ２つの中身の詰まっていない三角形が、くっつかずに存在しているときは
S = SimplicialComplex([[0,1],[1,2],[2,0],[3,4],[4,5],[5,3]])
S.homology()
- 1次穴は２つあり、かつ、0次穴が１個ある。0次穴がある、とは、全体が連結成分になっていないことに相当する
{0: Z, 1: Z x Z}
- 四面体を考えつつ、四面体は中身がなく、四面体の１面は充実性三角形、残りの３面は中身のない三角形とすると、1次穴が３個、2次穴が１個かな、と思ったが、四面体の４面がスカスカでなければそれは穴ではないらしく、２次穴は０
S = SimplicialComplex([[0,1],[0,2],[0,3],[1,2,3]])
S.homology()
{0: 0, 1: Z x Z, 2: 0}
