2012-05-17

極値を与える関数の探索

MIKU 変分問題常微分方程式

こちらの続き
１変数とその関数とその１階微分関数の３つを変数的に扱った汎関数 $F(x,f(x),\frac{d f(x)}{dx})$ を考える。この $F$ の区間積分を最小にするような $f$ を求める問題をやっている
これが変分問題
$F(x,f(x),\frac{d f(x)}{dx})=0$ は１変数１階常微分方程式の非正規形
変分問題を特にあたり、 $f(x)$ の集合の中で「極値」を取るものを探索したいのだが、関数に１変数を対応付けてその値が０になるものが「極値」を与えるという話に切り替えるために、関数の置き換えをする
また「値が０」のときに「極値」を与える、というのは、微分が０は「極値」でおきる、ということに対応していることも使う
あとは式の置き換えと変形のこと
このやり方で解けるかどうかは $F$ の形( $f$ の形)で決まるが、それは１変数１階常微分方程式が初等的に解けるか、初等的には解けないが、やり方を工夫して解ける形に持ち込めるか、などとの対応関係を持つ
$F(x,f(x),\frac{f(x)}{dx})$ の $f(x)$ をベクトルな関数 $\mathbf{f}(x) = \{f_1(x),f_2(x),...,f_k(x)\}$ のように拡張する。これは、 $k=1$ のときは１次元の土地に２点あり、そこに高低差があって、この２点間のボールの運動であった。結局 $k+1$ 次元空間に絵を描いて説明した
これを拡張する。 $k$ 次元空間があって、２点取る。この $k$ 次元空間には高低差の軸がもう一つあって $k+1$ 次元空間に絵を描いて説明することになる(ポテンシャルなので空間でなくてもよいが)。その２点を結ぶ曲線(の集合)を考える。この曲線はk次元空間上でのたくりつつ、高低の変化は単純だったりジェットコースターみたいだったりする。
関数を探すのに１変数の変化・変分で考えるから「変分原理」と呼ぶ？
勉強会の新参者のためのRの練習用ソース
- R-tips
- R、本当に基礎2011
- Rを使うための…
- もっとたくさんありますが
少し一般的に考えてみる
- $k$ 個の因子が相互に絡み合って、ある動的な状態を作っているとする
- 化合物がk種類あってその濃度が時間変化しているというようなものとしよう
- ここで時間の変数を一つ加えてやると、全部で $k+1$ 個の変数がある
- ここで $k$ 個の因子の濃度を $f_i(t);i=1,2,...,k$ とする
- $k$ 個の因子の濃度変化が $\frac{d f_i(t)}{dt}$ とする
- 動的状態であって、ある時刻 $t_1$ とそれより後の時刻 $t_2$ に $k$ 種類の因子の濃度を観察したとする
- 観察開始の状態と観察終了の状態とが決まっている
- なるべく早く終了の状態に行き着くような $f_i$ のセットは何かという問題は、観察終了の状態が発生の次の形態であれば、そういうことだし、細胞分裂の周期で考えれば、そんなものに関する何かである
- 早く終了するのがよいか、遅く終了するのがよいかをコントロールするために、「ポテンシャル場(重力なら方向とか強さとか)」を変えて、現象を制御する、というやり方もあるし
- ある特定の点を通ることを条件に付け加えるということは、「ポテンシャル場」を改変して対応する、という説明の仕方もあるだろう
- また、状態が頑健である、というのは、外乱があっても、「曲線」がある範囲から抜け出せないほどの「壁」があるということだが、それは、「区間積分」についてか、それにつながっている別のものに関して、ある関数たちは、「いい感じの関係(相互に引き合う関係)」であり、別の関数たちは、「壁を越え」ないと相互に行き来ができない関係、というように見ることができる