ryamadaのコンピュータ・数学メモ

ポアソン分布メモ

R 分布ポアソン分布

こちらから
Wiki
$\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$
ガンマ分布を見てみる
- $k!$ は離散的に定義されているけれど、ガンマ関数を使って、その制約をとってやったものをポアソン分布の拡張とすれば「積分して１」になるための定数項を無視すれば
- $\frac{\lambda^k}{\Gamma(k+1)}e^{-\lambda}$

l<-2
plot(function(x)l^x*exp(l)/gamma(x+1),from=0,to=10)

- 一方ガンマ分布(Wiki)は
- $x^{k-1}\frac{e^{-\frac{x}{\theta}}}{{\Gamma(k) \theta^k}$
- $\theta = \frac{1}{\lambda}$ として
- $x^{k-1}\lambda^k\frac{e^{-x\lambda}}{{\Gamma(k) }$
- 少し変形して $\lambda (x\lambda)^{k-1}\frac{e^{-(x\lambda)}}{{\Gamma(k) }$
- さらに $k-1 = k'$ として
- $\lambda\times (x\lambda)^{k'}\frac{e^{-(x\lambda)}}{{\Gamma(k'+1) }$
- さらに $x\lambda = \Lambda$ とすれば
- $\lambda \Lambda^{k'}\frac{e^{-\Lambda}}{{\Gamma(k'+1) }$
- これはポアソン分布によく似た形
- ガンマ分布の離散版のアーラン分布はこちら
別の話
- Wikiで、確率分布をみると、ピークが２点でできていることがわかる
- これは、 $k=\lambda-1,\lambda$ のときに $\lambda^k\frac{e^{-\lambda}}{\gamma(k+1)}$ が同じ値をとることが簡単に示せることからわかる