2010-08-10

４つのベクトルの余弦での関係 by RY

ベクトル

今日、３ｘ３行列と１ｘ３、３ｘ１行列(ベクトル)のことをひとしきり考えた。そのうちの一部について。
今、４つの３次元ベクトル u,v p,q を考える。
いずれも、単位ベクトルである。
p,qは３成分がすべて正という制限があり、u,vについては何かしらの制約がある可能性があるが、それが詰められていない。
$\cos (\theta_{u,p}) \times \cos (\theta_{v,q}) - \cos (\theta_{u,q}) \times \cos (\theta_{v,p})=0$ がその４ベクトルの間の制約(だったと思う)。
ただし $\theta_{x,y}$ は、x,yのなす角とする。
このような関係にある４ベクトルは、３次元空間でどのような幾何的な関係にあるのか
また、そのときに $B=u \times t(v)$ なる3x3行列はどのような行列で $A=B-t(B)$ なる行列はどういう制約を持つのか。
$A$ とp,qとの関係はなんなのか
これが、３つの手同士で行う勝敗ゲームの得点差を定義するらしい
つづき by RY
$A=B-t(B)$ の第 $(i,j)$ 成分は $u_i v_j-u_j v_i$ 。今、 $u,v$ が作る平面をxy平面とする座標に置き換えて考えると $u=(\cos(t_u),\sin(t_u),0),v=(\cos(t_v),\sin(t_v),0)$ と置ける。このとき $u_i v_j -u_j v_i$ 成分は $(y,z),(z,x),(x,y)$ 成分の順で $(0,0,\sin(t_v-t_u))$ となる。これは、 $u,v$ が作る面に垂直で、長さが $\sin(t_v-t_u)$ なるベクトルである。
$A$ の対角成分の上の成分３個からなる次のようなベクトル $C=(A(2,3),A(3,1),A(1,2))$ を考える。これは、 $u,v$ が成す面に垂直で、長さが $\sin(\theta)$ のベクトルである。ただし、 $\theta$ は $u,n$ の成す角
ここで、 $A,C$ のセルの値について等倍することに意味がないとすれば、 $C$ のノルムを１にするもよし、 $u,v$ のノルムを１にしたときの $C$ のノルムをそのまま用いるもよし、どちらも、「標準化」したことになっている。より簡単にするために、 $C$ のノルムを１とすることにする
４つのベクトル $p,q,u,v$ の関係を考えることが、３つのベクトル $p,q,C$ を考えることに置き換えられた
元々の問題設定は、 $(p,u),(p,v),(q,u),(q,v)$ が成す角の関係であったが、同じAを作るu,vに関して、 $\cos (\theta_{u,p}) \times \cos (\theta_{v,q}) - \cos (\theta_{u,q}) \times \cos (\theta_{v,p})=0$ は等しいはずであるから、この関係は、 $(p,C),(q,C)$ の成す角のみで決まるのではなかろうか。
$pAt(q)=0$ が $\cos (\theta_{u,p}) \times \cos (\theta_{v,q}) - \cos (\theta_{u,q}) \times \cos (\theta_{v,p})=0$ の由来であったので、AをCの成分で表して、再度、制約を表し直すこととする
$C_3(p_1q_2-p_2q_1)-C_2(p_3q_1-p_1q_3)+C_3(p_1q_2-p_2q_1)=0$ になろうか・・・
これは、Cの第２成分を負に変えたベクトル $C'=(C_1,-C_2,C_3)$ と $p,q$ の外積ベクトルとの内積になっている・・・
$C'$ で第２成分が反転させる必要があった点が、なにかしら、怪しげだけれども、大まかには、 $A,u,v,p,q$ の３次元座標での関係はわかったように思われる
$C'$ が $p,q$ の外積ベクトルと直交するということは、 $C'$ が $p,q$ の成す面上にあるということと同じ
要するに、 $C'$ が $A$ を決める基本ベクトルであって、 $p,q,C'$ が同一平面上にあるときに $pAt(q)=0$ となる。これは、 $x+y+z=1$ なるディリクレ平面に直線として現れる