距離を置いて配置する - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで円形２次元空間に、単位円を重なりがないように配置する話をしている
直径Rの円形空間に、直径1の単位円をN個配置したいという
そもそも、そんな配置ができるのかを確かめるとすれば、をまず確認することもできる
- $R=10,N=30$ とすると、 $100 < 30$ なので、十分かどうかは知らず、このチェックは通りそうだ
充填して成功するかどうかを確認する方がよさそうだ
- 空間円の中心に１個の単位円の中心をもってきて、平面を単位円で充填すれば、単位円の中心は正三角形を敷き詰めた格子の格子点になり、この正三角形の１辺の長さは単位円の直径
- 中心に１個、その周りに、６個、その周りに１２個、さらにその周りに１８個(たぶん)、なので、第０殻までで１個、第１殻までで１＋６個、第k殻までで $1 + 6\times \frac{(i-1)(i-2)}{2}$ 個
- $1+6\times \frac{(i-1)(i-2)}{2} \ge N=30$ を満足する最小の $k$ は３
- 第k殻に単位円の中心が来て、単位円が空間円に納まるには、さらに単位円の半径分だけ、空間円の境界が外側になる必要があって、それは２方向分ある。このとき単位円の直径の $k*2 + 1$ 倍の長さの直径の円の内側に、N個の単位円が納まることになる。
- $2 \times 3 +1 < 10$ なので、充填確認でも、 $R=10,N=30$ は実現可能なようだ
- $k \ge 3$ の確認はとれた。 $2 \times 4 + 1 \ge 10$ 、 $2 \times 5 +1 > 10$ なので、 $k = 3,4$ であることがわかる
さて、この充填方法を使ってうまく納められないだろうか
- $k=3,4$ の場合に、それぞれ、空間円の直径Rにぎりぎりに納まるように、単位円の直径を少し大きくしてやれば、そのような場合には、単位円の中心の座標は「確定」できる
- 確定した中心座標から、 $N$ 個をランダムにとれば、「確定した中心座標」の中ではそれなりにランダムに配置できる
- そのうえで、単位円は大きくしてあるので、本当の単位円はその中で動くことができるから、適当に動かすこともできそうだ
- $k=3,4$ のどちらにするかを選ばないといけない、という問題もある
- $k=3,4$ のそれぞれでN個を配する場合の数を数え上げ、その割合にしたがって $k=3,4$ を選ぶのが適当だろう
最後に残る問題は、このようにして置いた配置が、「本当に、条件を合致するランダムな配置をきちんと網羅しているのか」ということだろうか