ぱらぱらめくる『Morse理論の基礎』
まえがき
第1章 曲面上のMorse理論
- 臨界点は、関数を微分して0になる点
- 退化と非退化
- 臨界点の評価にはヘッセ行列(2階の微分が作る行列)を用いる
- ヘッセ行列の行列式が0でない場合が非退化
- 非退化な臨界点(2次元曲面の場合)は、個々の臨界点は孤立しており、の3通りに分類できる
- この3通りに、0,1,2という指数を対応付ける
- 曲面上のMorse関数
- ある曲面上の関数の臨界点がすべて非退化であるとき、その関数をMorse関数と呼ぶ
- こんな定理もある
- 『閉曲面Mの上に、非退化な臨界点が2つだけのMorse関数が存在すれば、Mは球面に微分同相である
- 『ある特別な場合ではあるが、曲面上のMorse関数によってその曲面の計上が決まる』ことが示されている。これの体系的研究がMorse理論
- 曲面上のMorse関数の最小値・最大値を考える。値を最小値から最大値へと変化させると、Mの部分集合が0から始まってだんだん大きくなり、Mそのものに到達する。その推移の様子を捕らえんとするのがMorse理論
- 的な非退化臨界点をよぎるとき、新規に円板が生じる(0-ハンドル)
- 的な非退化臨界点をよぎるとき、「橋渡し的な領域~1-ハンドル」が生じる
- 的な非退化臨界点をよぎるときは、円板状の空隙が消失する。この空隙を2-ハンドルと呼ぶ
- 閉曲面とその上のMorse関数により、ハンドルの列ができる。これがハンドル分解
第2章 一般次元への拡張
- 素直な拡張
第3章 ハンドル体
Rcppを使ってパッケージを作る
- Rcppパッケージには、Rcppを介してcppを使ったパッケージの見本を作成する関数 Rcpp.package.skeleton() がある
- Rstudioで新たにcppファイルを作成して、然るべきフォルダに保存して
- Rcppパッケージの compileAttributes() 関数を実行して、出来上がり
- あとはgithubに上げれば、自分も他人も使える状態
ゼータ メビウス メビウス反転 素数 商群
- 本当にただのメモ
- この論文にはお世話になった
- オイラーのゼータ関数では、個々の自然数に対して1を返す関数(数論的関数)に対して、ディリクレ級数的母関数が定義できて、それがいわゆるリーマンのゼータ関数
- リーマンのゼータ関数にはオイラー積表現があり、そのときに、全ての自然数を素数に因数分解することを使う。したがってオイラー積表現では、全部の素数に渡って、掛け算する
- メビウスの反転公式というものがある
- これは、集合を「割り算して同値類」をとることにより、関数を反転するルール
- リーマンのゼータ関数の場合には、この割り算が、いわゆる算術的割り算だったので素数に渡る処理をした
- この割り切れる関係をポセットにできる
- ポセットではチェインを一つずつ数える。この数論的関数自体をゼータ関数と呼び、その対応的な数論的関数をメビウス関数と呼ぶ。この辺り、自然数に1を対応づける関数の母関数としてのゼータ関数と、ちょっと「ゼータ」の使い方が違いそうだ
- そして、この対応する関数がどうして対応するかが、実は、メビウス反転と関係し、さらにその背後にディリクレ級数的母関数が、「割り切れる」ものに関して畳み込みが定義されていることとも関係しているのだが、文書によっては、そこに触れずに、関係だけを記載するものもあり、文書によっては、関係するメカニズムを延々と書いていて、何が知りたかったのかがわからなくなる長さになったりするので注意が必要
- グラフのゼータ関数(伊原・Selberg)は、から出発していない。リーマンのゼータ関数のオイラー積表現の対応物として、ゼータ関数ができている。素数に対応するものとして基本となる閉測地線をとる。その測地線の「値」には「長さ」をとる
- その概念をグラフの隣接行列と結びつけたら、determinantの式で表せるよ、というあたりに、伊原のゼータ関数に関する文書は重点を書いているので、そちらから入って、ポセットのゼータ関数との関係を理解しようとすると、色々な所に、段差があって大変だ