ぱらぱらめくる『１章 リー代数と量子論』

１章　リー代数と量子論

• リー代数に興味がある
• リー代数はリー群の接空間と関係がある
• リー群の例としての回転行列の群とそれに対応するリー代数に興味がある
• 回転行列の群の要素は回転行列(当然か…)
• 回転行列に対応するリー代数の要素は交代行列(歪対称行列)
• 交代行列(歪対称行列)は団代数のシードの一部をなす行列
• この団代数のシードをなす交代行列に興味があるので、それが構成するリー代数に興味がある
• さて、ぱらぱらめくることとする
• リー代数に重要なのは交換関係
• がリー代数の要素であるとき、も要素。も要素
• この後者が交換関係
• 非可換な時に非ゼロになる成分
• この交換関係がリー代数の素性を決める
• このを表現するときに現れるのが、構造定数
• この構造定数が交換関係を決めているので、リー代数の素性を構造定数が決める、とも言える
• リー代数の生成子の集合があるときに、もリー代数の要素とし、もリー代数の要素とする、というルールで要素を増やしていける。そうやって増やすときの「素」になるのが生成子(だろうと思われる）
• そして、その生成子間の交換関係式を生成子の線形和で表すときの係数が構造定数
• リー代数には対角化行列で表される成分も存在しうる(交代行列で出来上がった団代数のシード行列の集合にはそういうものはない)
• リー代数の成分のうち、同時に対角化できる成分のセットを作る
• そのような対角行列要素は交換関係式が0を返すので、「構造定数的」に考えることが少なくなってきて
• それ以外の生成子との交換関係が重要になって来る
• この対角化生成子、非対角化生成子の間の関係などを表すときに出てくるのが、ルート(ルートベクトル)とウェイト
• このルートとウェイトとを整理して出てくるのがDynkin label
• また、ルートベクトルから作られる行列であるカルタン行列は、リー代数の素性を定めるルートベクトルの情報を背負っているので、大事な行列になっている
• さらに、また。ウェイトを考えていって、それにダイアグラムを与えたものがヤング図
• この辺りを使って対称性の議論をすることで量子力学がこの世の中をどう見ることになるか、という話となってゲージ理論とかにつながるらしい
• 量子力学ではリー代数がどういう使われ方をするかと言うと・・・
  • 水素原子のハミルトニアンをうまいこと変数書き換えすることで、２つ独立なリー代数(２つの独立な交換関係)が成り立っていることが示せる。言い換えると水素原子の問題が二つのリー代数の直積で表される、と言う話
  • ３次元調和振動子でも、ハミルトニアンからスタートし、その式変形を経て、交換関係として表現することができる。これが、３次元調和振動子のリー代数的解釈
  • 素粒子もリー代数表現や、そのヤング図などでの説明ができることからリー代数とつながっていく
• さて。これを、対角行列が出てこないリー代数、要素数が膨大になりうる団代数の交代行列が持つリー代数上の構成？構造？とどういう風につながるのか、、、ということを考えたい