再びぱらぱらめくる『Cluster algebras and triangulated surfaces. Part II: Lambda lengths』

Cluster Algebras and Triangulated Surfaces: Lambda Lengths (Memoirs of the American Mathematical Society)

作者:Fomin, Sergey,Thurston, Dylan
発売日: 2018/08/31
メディア: ペーパーバック

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代数としての定義
まず、群Pを必要とする。これは係数を作るための群。可換群(どんな2要素も掛け合わせられる)
- したがって、 $P = \{p_i\}$ について、 $\prod_{i} p_i^ {z_i} \in P; z_i \in Z$ となる。Pの要素に関する単項式
- この群Pの整数次数単項式を考える。これは、整数Zを環と見て、群Pと組み合わせることで、ZPなる群環である
  - ただし、これは整数次数単項式だが、後にこれをトロピカル演算で考えると、整数係数多項式でもあることになる
次に、n個の代数変数を必要とする
- そして、このn個の変数が作る、有理多項式の集合を考えると、それは体となる。ただし、有理多項式の係数は、上で定めた群環ZPの要素とする
最後にの整数反対称化可能行列を必要とする
- Bの要素である整数は、群環ZPの次数として現れ、また、ZPを係数とするxの有理多項式における変数 $x_j$ の次数として現れる
今、あるn個の代数変数の集合xと、n個の代数変数に対応させた群間ZPの要素である係数の集合p(ただし、1個の代数変数に対して、二つの係数 $p^+,p^-$ を取る。 $p^+,p^-$ の間にはある関係がある)と、n個の代数変数を行番・列番に対応付けた $n \times n$ 整数係数反対称化可能行列 Bとが作る三つ組み(x,p,B)をシード(種)と呼ぶことにする
最後に、この三つ組みシードに「変異」を定義する
- 変異は、n通りある
- 今、1,2,...,nのうちk番に相当する変異をさせるとすると、xが持つn個の代数変数のうち $x_k$ が変更され $\bar{x_k}$ になる。他の代数変数は変化しない
- 変化する代数変数(有理多項式)は代数変数pと行列Bの要素とで表される式によって変化する
- 代数係数は、逆に、取り換えられる変数 $x_k$ に関するものの変化の式表現は単純であるのに対し、それ以外の代数変数に対応する係数(係数のペア)の変化の式表現は複雑になっている
- 反対称行列の要素も変化する
これらの「変異」によって、あらたな三つ組みが生じる。代数変数が１つ新たに生じ、2n個の代数係数が変化し、反対称行列Bが別の反対称行列になる
このn通りの変化による三つ組み(x,p,B)は相互交換関係で結びつき、構造を持つ
なお、各代数変数に付随する２つの係数の比 $y(x) = \frac{p^+(x)}{p^-(x)}$ を使うこともある。(これは、geometricな団代数の特別な場合に相当する使い方かもしれない) また、この比を取る操作は「normalization」とも関係するらしい。さらにまた、トロピカル演算・トロピカル代数的な解釈につながる係数どりともなっているらしい
団代数の変異は、ある状態から常にn通りある。したがって、その変異でつながった状態を表したグラフは、n-正則グラフになる。これが後にTeichmuller空間として説明される(らしい)

3 Rescaling and normalization 団変数・係数の変化が単項式関係になるように調整した団代数

Geometric typeの団係数はrescalingされ、normalizeされているので、それについて説明した章
変換行列は変わらず、xとpのみが変わる
スケール変換はいろいろにできるが、その中で特別なのが、団変数の"normalized" exchange patternをもたらすようなスケール変換である。このnormalizationはcoefficient group P を半体にする。幾何的団代数のPがトロピカル半体であることから、幾何的団代数は、団変数の変換についてnormalizeされたものであることに関して、述べるための章である
- $p_e^+(t) \oplus p_e^-(t) = 1$ が"normalized"であることに相当する
- また、normalizedされることにより、シードから別のシードへの変異にあたって、新たに生じるシードのx,p,Bのすべてが、変異元のシードのx,p,Bのみから一意に計算できるようになることも重要なポイントの一つである

4 Cluster algebras of geometric type and their positive realizations 三角化に対応するような幾何的説明を持つような一部の団代数であって、その団代数にはトロピカル半環を満足する団係数が付随する

Geometric typeの団代数は、トロピカル半体を用いて定義される団係数であるとして定義される
交換行列として長方形のもの"Extended exchange matrix"を用いると便利らしい
- どういうことかというと、団変数の変異式は、団係数と団変数との積と和とで定義するのが通常であるが、トロピカル半環を使っているときには、団係数も団変数と同様にの式(ローラン単項式)になっているから、係数っぽく扱う(団係数を団変数の●乗(この●が変換行列の要素値で決まる)を単項式に掛ける）のではなく、団係数という単項式の●乗を掛けるとみなすことで、団係数用の●の値を変換行列に持たせることにする、ということ
- これにより、n個の団変数の変異をするにあたり、n個の団変数と、|I|個の団係数とのそれぞれの●乗をしたものの和の計算に落とし込み、その情報を持たせる行列を正方行列から長方形行列に変換すると、表記的に便利となる
ある状態から、n通りの変異がある。また、この団代数は|I|個の団変数からなっているとする。今、ある状態があったときに、n通りの変異に相当してn個の値を、|I|個の団変数に対応して|I|個の値が定まるとき、n+|I|個の値が、この状態の「座標」であるとみなせる
この座標用の値を取り出すにあたって、いずれも正の実数を取り出すように定めたものがTeichmuller空間座標

5 Bordered surfaces, arc complexes, and tagged arcs 幾何的団代数である曲面上の三角化を団代数的に対称的に扱うための工夫などについて

穴g個、辺縁b個(辺縁上の点の数c個)、puncture(点)p個の面のIdeal triangulationでは、n = 6g + 3b + 3p + c - 6 本のarcsで三角化される。ただし、Self-folded 三角形もOKとする
tagタイプ(plain vs. tagged)で区別されるのは、punctureに刺入する箇所だけ。辺縁上の点への刺入個所は常にplain
同一punctureに刺入するarcの刺入部のtagタイプは同一(したがって、ループ状のarcの両端のtag タイプは同じ)
よくある説明では、arcがループであって、その内部に1個のpunctureを持つとき、そのループを始点終点頂点から、内部punctureへのtagged arcとみなし、その内部puncture刺入部のtagタイプをtaggedとする、というルールが用いられる
tagged arcによってideal triangulationsのパターンは増える。また、それらの交換関係はn-正則グラフになる
Skew-symmetric 行列
- まず、ふつうの三角化状態(すべてのarcは両端ともにplainで、三角形にはself-foldedが一つもない状態)とする
- 辺の本数nに対してnxn行列を作る。すべての三角形について、時計回り(または反時計回り)に辺iが辺jに接続する関係のとき、(i,j)成分を１とし、(j,i)成分を-1とし、それ以外を0とする
- 辺の交換によって三角化を変化させ、三角化の変化に対応した行列の変異によって新たなskew-symmetric 行列を作っていくことができる
- その行列の変異とは、以下の通り。ただし、フリップする辺が1,2,...,n個の辺の第k番に相当している者とする
  - $b_{ij}' = -b_{ij}$ もし、i=kもしくはj=kの場合
  - $b_{ij} ' = b_{ij} + \frac{|b_{ik}|b_{kj} + b_{ik} |b_{kj}|}{2}$ それ以外の場合
Rでやってみる。四面体から、self-joined triangleを経て、tagged type辺が二本集まる点を作るまでの処理を実行。skew-symmetric 行列で、二つの三角形にサンドイッチされた2辺の関係は「０」になることに注意

- こちらも参考

6 Structural results 幾何的団代数の交換構造について。ただしTeichmuller空間を用いないでそれを説明する

7 Lambda lengths on bordered surfaces with punctures Teichmuller空間を用いて幾何的団代数を説明するための道具立てとしてのLambda lengths

tagなしの三角化の場合には、すべての閉曲面上の点はpunctureとみなされ、無限遠点となる
ポアンカレディスクモデルでは４点が円周上にとられ、それらがそれぞれ双曲面上の測地線で結ばれる
いずれの点も無限遠点なので、任意の２点間距離は無限になる
ここで各点から等距離の点の集合であるhorocycleというものを適当に取ることにし、２点間の距離は、測地線からhorocycleより点に近い側の測地線部分を除いた距離とすることにする。これにより、２点間距離は有限となる
ここで注意したいのはhorocycleが無限遠点からどのくらいの距離のものかについて言及せずに話が進むことである
いずれにしろ、horocycleを用いることで、頂点間測地距離は有限になる。それを $l_{i,j}$ とかくことにする。ただし、この $l_{i,j}$ は負になることもあることに注意する。なぜならば、horocycleが大きいとき、２つのhorocyclesは交わってしまい、その場合は負の数を与えることにするからである
Lambda距離とは $\lambda_{i,j}=exp(l_{i,j})$ で定義される。こちらの値は $l_{i,j}$ の符号によらず、正である
今、点、i,j,k,lがあったときに、 $\lambda_{i,k} \lambda_{j,l} = \lambda_{i,j} \lambda_{k,l} + \lambda_{j,k} \lambda_{l,i}$ という関係が成り立つ
この関係はPtolemyの関係と言われる
今、三角化によって、各辺のlambda距離が与えられているものとする
三角化の変異により、 $\lambda_{i,k}$ が $\lambda_{j,l}$ に入れ替わる
この三角化変異において、辺に付随した正の値が計算できることがわかる
この値がクラスタ変数になっている
三角化の団代数がきれいに正則グラフ的変異構造を持つためには、tagged arcの導入が必要であり、その場合にlambda lengthの計算式を導入しないとうまくいかないので、そのことが、次章で議論される

8 Lambda lengths of tagged arcs 幾何的団代数を代数的にきれいにするために導入した特殊な辺(arc)であるtagged arcsにLambda lengthsを定義する

tagged arcが含まれる三角形フリップでのPtolemy 関係が定義できればlambda lengthは計算できる
1つ目の例
- 底辺 $\beta$ があり、その両端頂点にそれぞれループ $\alpha,\gamma$ があるとする。この２つのループには１個のpunctureが含まれていて、辺が接続していない。今、 $\beta$ の両端点を結ぶarcが２本引ける。１本は、 $\alpha$ を内部に含み $\gamma$ を含まない。このarcを $\eta$ とする。もう１本は $\alpha$ を内部に含まず、 $\gamma$ を内部に含む。このarcを $\theta$ とする
- このとき四角形は、 $\beta,\gamma,\beta,\alpha$ で、その対角線が $\eta,\theta$ となる
- 三角形フリップは、 $\eta,\theta$ の交換
- これをtagなしで考えると $\lambda(\eta)\lambda(\theta) = \lambda(\alpha)\lambda(\gamma) + \lambda(\beta)^2$ となる
- しかしながら、tagつき版の場合、内部点を持ったループ $\alpha,\gamma$ は許されず、 $\beta$ の端点と、内部点とを結んだ、plain-taggedなarcとtagged なarcの２本が存在する状態を考えることが求められる。この２つのarcsを $\alpha ' , \alpha ''$ とする
- ある、ルールを使うと $\lambda(\alpha) = \lambda(\alpha ' ) \lambda(\alpha '')$ となることが知られているので、結局tagged arc版のPtolemy関係は、 $\lambda(\eta)\lambda(\theta) = \lambda(\alpha ')\lambda(\alpha '') \lambda(\gamma ' )\lambda(\gamma '') + \lambda(\beta)^2$ となる
2つ目の例
- 2頂点を２本のエッジが結び、中に１点がある場合
- このとき、周囲の２arcsを $\alpha,\beta$ とする。２頂点と中央の頂点と結んだ２arcs2を $\gamma,\theta$ とする。 $\theta$ を対角線とみなして取り換えると、真ん中の点とそこへの辺 $\gamma$ を包み込むループ $\eta$ になる
- この関係を、非taggedの場合で書くと $\lambda(\eta) \lambda(\theta) = \lambda(\alpha) \lambda(\gamma) + \lambda(\beta) \lambda(\gamma)$ となる
- これをtagged版にすると、ループである $\eta$ がtagged な $\gamma$ となるので
- $\lambda(\gamma ') \lambda(\gamma '') \lambda(\theta) = \lambda(\alpha) \lambda(\gamma ') + \lambda(\beta) \lambda(\gamma ')$ となるので、変形して $\lambda(\gamma '') \lambda(\theta) = \lambda(\alpha) + \lambda(\beta)$ となる

9 Opened surfaces 7と8とで扱ったTeichmuller spaceでは団係数の交換関係を系統だてて表せないので、opened surfaceという構造に拡張する

10 Lambda lengths on opened surfaces 拡張されたopened surfaceに対して新たにLambda lengthsを定義することで整合性を維持する

11 Non-normalized exchange patterns from surfaces Normalizeしてうまく回していた団代数・変数・係数を再度、Non-normalizedにしつつ、系全体の交換関係を記述する方法を示す

12 Laminations and shear coordinates ラムダ lengthsとは異なるshear coordinatesというarcの「長さ」の取り方があるので、それに即して、議論しなおす

13 Shear coordinates with respect to tagged triangulations 12に引き続き、tagged arcsについてもshear coordinates的取扱いをする

14 Tropical lambda lengths Laminated Teichmuller空間にトロピカルlambda lengthsを導入する

15 Laminated Teichmuller spaces 幾何的団代数を一般化するために、opened surface, tagged arcs, tropical lambda lengthsを導入してきた。それらを備えたLaminate Teichmuller spacesというものについて

16 Topological realizations of some coordinate rings 15の考え方の適用先・応用先についての説明

17 Principal and universal coefficients 15の考え方での団係数の取り方について

Appendix A Tropical degeneration and relative lambda lengths 到達した成果であるlaminated Teichmuller spacesのlambda lengths(一般化されている)は、トロピカル代数・トロピカル幾何的にアプローチできること

ryamadaのコンピュータ・数学メモ

再びぱらぱらめくる『Cluster algebras and triangulated surfaces. Part II: Lambda lengths』

目次

1 Introduction 全体像

2 Non-normalized cluster algebras 代数としての団代数

3 Rescaling and normalization 団変数・係数の変化が単項式関係になるように調整した団代数

4 Cluster algebras of geometric type and their positive realizations 三角化に対応するような幾何的説明を持つような一部の団代数であって、その団代数にはトロピカル半環を満足する団係数が付随する

5 Bordered surfaces, arc complexes, and tagged arcs 幾何的団代数である曲面上の三角化を団代数的に対称的に扱うための工夫などについて

6 Structural results 幾何的団代数の交換構造について。ただしTeichmuller空間を用いないでそれを説明する

7 Lambda lengths on bordered surfaces with punctures Teichmuller空間を用いて幾何的団代数を説明するための道具立てとしてのLambda lengths

8 Lambda lengths of tagged arcs 幾何的団代数を代数的にきれいにするために導入した特殊な辺(arc)であるtagged arcsにLambda lengthsを定義する

9 Opened surfaces 7と8とで扱ったTeichmuller spaceでは団係数の交換関係を系統だてて表せないので、opened surfaceという構造に拡張する

10 Lambda lengths on opened surfaces 拡張されたopened surfaceに対して新たにLambda lengthsを定義することで整合性を維持する

11 Non-normalized exchange patterns from surfaces Normalizeしてうまく回していた団代数・変数・係数を再度、Non-normalizedにしつつ、系全体の交換関係を記述する方法を示す

12 Laminations and shear coordinates ラムダ lengthsとは異なるshear coordinatesというarcの「長さ」の取り方があるので、それに即して、議論しなおす

13 Shear coordinates with respect to tagged triangulations 12に引き続き、tagged arcsについてもshear coordinates的取扱いをする

14 Tropical lambda lengths Laminated Teichmuller空間にトロピカルlambda lengthsを導入する

15 Laminated Teichmuller spaces 幾何的団代数を一般化するために、opened surface, tagged arcs, tropical lambda lengthsを導入してきた。それらを備えたLaminate Teichmuller spacesというものについて

16 Topological realizations of some coordinate rings 15の考え方の適用先・応用先についての説明

17 Principal and universal coefficients 15の考え方での団係数の取り方について

Appendix A Tropical degeneration and relative lambda lengths 到達した成果であるlaminated Teichmuller spacesのlambda lengths(一般化されている)は、トロピカル代数・トロピカル幾何的にアプローチできること

Appendix B Versions of Teichmuller spaces and coordinates タイヒミューラー空間にいくつかのバリエーションが登場したが、それらの座標系の相互関係について