ryamadaのコンピュータ・数学メモ

対称関数、対称多項式回帰

対称関数対称関数

n変数からなる空間を台とする関数を考える
n変数は相互に対等な関係にあるとき、その関数はn変数に関して対称
そんな関数が多項式なとき、どう表す？
$f(x_1,x_2,...,x_n)$ があったときに
$\sum_{\sigma \in S} f(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},...,x_{\sigma(n)})$ 、ただし、 $\sigma$ は順列
Wikiの記事
ある観察データ、算出結果などがあったときに、その背後にどのような対称関数があるかを気にするとする
対称多項式で近似する、対称多項式に回帰することを考える
$\prod_{i=1}^n (\sum_{j=0}^k a_j x_i^j)$ を $x_i$ に関する対称性に注意して、次のように分解する
対称式である項はという形をしている
- この式の各項の次数は、0,1,..., $n \times k$ であり、 $\sum_{i=1}^n a_i=A; 0 \le A \le n \times k$ を満足し、かつ、 $0 \le a_i \le k$ を満足する
$\sum_{i=1}^n a_i=A; 0 \le A \le n \times k$ 、 $0 \le a_i \le k$ は、 $A=0,...,n\times k$ の $n$ 要素への整数分割を考え、それを $1,2,...,n$ のすべての入れ替えを考慮すればよい