細目次9 Mating trees and the peanosphere ぱらぱらめくる『Universal Randomness in 2D』
- 9 Mating trees and the peanosphere ランダム過程で面を構成するために
- 9.1 Overview
- 9.2 Constructing a topological sphere from a pair of trees
- 9.3 Liouville quantum gravity as a scaling limit
- 9.4 Gluing trees of disks
- 9.5 Quantum wedges, cones, disks, and spheres
- 9.6 Conformal structure and removability
- 9.7 Melding and cutting quantum wedges and cones
- 9.8 Matings of trees and trees of loops
- 9.1 Overview
- ２つのランダム木(枝を張った木というより、枝がループを成した木)をくっつけると、空間充填パスが張り付いた球と同相のグラフ(peanosphere)ができる
- このpeanosphereに共形構造を乗せる。言い換えるとリーマン球に乗せこむ
- ペアノ・スフェアとは、「ペアノ充填曲線」を想起させる球面ということだと思う
- 9.2 木のペア
- ブラウン散歩２つを長方形の上辺・下辺に描く。互い違いに、内側に波形が現れるようにする。これを垂直対応の部分をくっつけつつ、ブラウン散歩が対応する木(枝はループ)ができるように糊付けすると、S2同相になる。単純な球の場合は、２つのブラウン散歩が水平線同士の場合だろう(か？)
- まず、長方形を作る
- 長方形の４頂点と４辺は１点に縮むのだが、ひとまず、左右の辺だけを２点に縮める
- また、２つのブラウン散歩の時刻対応点の間をつなぐセグメントは、水平線との関係によらず１点に縮める。これは、結局、２つのブラウン散歩の隙間をなくす〜ふたつのブラウン散歩を１つの曲線としてしまう
- こうすることで、左右が点で、そこから上下２つの弧でつながった領域になり、その中央に曲線が引かれた状態となる。この中央の曲線は２つのブラウン散歩である
- それぞれのブラウン散歩で、水平線が引けているところ同士を点と見做してくっつけていく
- 水平線は、その水平線をもうそれ以上は上に上げられない・下に下げられないような水平線である。これは、ブラウン散歩から木を作るときに、枝の生え際に相当する。木を作るときは、生え際から枝が生えていて、その両側がブラウン散歩での上って下りてに対応するが、いまは、枝にしないでループにしておく
- 基本的には、２つのブラウン散歩で、水平線が引ける場所は異なるので、相互に勝手にどんどんループを作っていけばよい
- 外周には関係なくできる作業なので、内側に模様ができるだけで、相変わらず外側は上下２つの弧が作っている
- 水平線対応のくっつけをするときは、２点がくっつく場合と３点がくっつく場合の２通りがある。３点がくっつくのは、水平線の途中に接点がある場合
- 最後に外周を１点に縮めれば、球面になる
