CRT上の酔歩ラベル付けとそれが表すメトリック〜ブラウニアンマップ『私のためのBrownian map構成法』
- ブラウニアンラベルでは、上に値を貼り付ける
- ブラウン散歩での時刻0での点に対応するの点では、このラベルは0 (
- そして、ラベル値Zは酔歩でランダムに決めるが、「どれくらい離れているときに、どれくらい遠くまで歩いているか」という意味合いで酔歩を決めるときと書く。これは、上の2点について、その間の「木的な距離」を酔歩する時間とみなしたときに、到達する座標変化がの値になるように酔歩してZを決めよ、と言う意味である
- 具体的には、木の節ごとに酔歩を定めて、それを分岐部でつなぐことで、の座標を0としたときの各所の座標を定める、というもの
- さて。とその上の値ラベルが与えられた
- 2点間に、以下のような「擬距離」を定める
- 定めるにあたって2ステップを踏む
- 第1ステップ
-
- 木をaからbへ周回するか、bからaへ周回することにするとして、その周回にあたっては、わざわざ遠回りせずに、行き先に近い方の木のサイドから出発し、到着したらそれでOK、ということにする
- そのようにするとしたうえで、周回中に出会う、最小のZ値のうち、大きめの方を採用して、そこを基準水位として、2点のZ値から基準水位まで降りた高さの和を、2点間のとする、というもの
- であって、その周回路により小さい値がなければである、ということであり、そのような関係の2点は「同一視」する、ということ
-
- 第2ステップ
- 上記のように定めたを用いて、「本当の2点間の擬距離を次のように定める
- 定義式には複数の書き方がある
- 一つ目は木上の点ではなく、それに対応するブラウン散歩の時刻を使って与えるものである(複数の時刻が同一の木上の点に対応することに注意)
- 木上の点 a,bについて、対応するブラウン散歩時刻を適当に取り(複数とれるとしても、同じaに対応する2時刻についてはなる関係にあるので、上の式条件で「バイパスして距離を通算できる」ので問題ない
-
- ここでは、木上の始点と終点とは固定されているが、その途中で何個の点を介してもよく(kの値は何でもよい)、その上で、ひたすら、下限をもたらす木上の点列を探索せよ、と言っている
- 一つ目は木上の点ではなく、それに対応するブラウン散歩の時刻を使って与えるものである(複数の時刻が同一の木上の点に対応することに注意)
- 後掲のRmdの中では、「バイパスしてよい2点間」の距離を0にした上で、通ってよい点すべてをノードとする完全グラフの、グラフ上最短経路を計算することで、を計算している