2017-01-31

3 Affine moment invariants (AMIs) ぱらぱらめくる『Momemnts and Moment Invariants in Pattern Recognition』

ぱらぱらめくるシリーズ幾何パターン認識モーメント

Introduction
- ３次元を２次元画像化〜射影変換
- 射影変換に関する不変量は「現実的には不可能」。非線形変換だから。有限個のモーメントで不変量を構成することができないことも示されている
- Affine 変換を射影変換の近似にできることは多い。Affine 変換は線形なので、こちらの不変量はモーメントで構成できる
AMIs derived from the Funcamental theorem
- Algebraic invariantsというのがある。多項式 $\sum_0^p \begin{pmatrix} p\\ k \end{pmatrix} a_k x^{p-k} y^k$ をAffine変換すると、この多項式の係数 $a_k$ は変わる。この変わる係数を用いた多項式として構成される量であって、ある単純なルール(Affine 変換を表す行列が決める値 $J$ のw乗。JはAffine transformのヤコビアン)に従っているときにalgebraic invariantと呼ぶ。このalgebraic invariantsにはFundamental theoremと呼ばれる性質があって、それがモーメントと関係している
- こういうよいものの存在が示されているとき、それを見つけられれば・作れればよいので、その話が以下に続く
AMIs generated by graphs
- 画像上の点集合の座標に関してペアについて作った関数が不変量になる。点の集合があって、そのペアについて考慮することはグラフとして扱うということなので、グラフに基づくAMIの生成、と言える
- 逆に、点のペアについてどんな扱いをしたのかが、その不変量を説明するので、不変量のグラフ表現というものも作れる
- グラフがペアなら、トリオ以上の組み合わせも考えられて、そうすればそれは「テンソル」を使った不変量構成
- グラフ・テンソルは組み合わせを扱うデータ構造なので、不変量の全列挙などにも対応する
AMIs via image normalization
- 比較する画像を正規化して、その上で、affine transformで移り合う具合を見つける
- Affine transformはさらに回転・並進・拡縮の連結処理に分解してハンドリングできる。正規化は回転・並進・拡縮のそれぞれに適したそれがあるので、正規化・Affine transformの部品に関して連続処理構成できる
Derivation of the AMIs from the Cayley-Aronhold equation
- 発想はシンプル、アルゴリズム化が厄介、低オーダーの不変量には「手作業で作れ」ばよい
Numerical experiments
Affine invariants of color images
Generalization of three dimensions
- 基本的には、頑張れば2Dを3D版にできる
  - 2Dでの複素数モーメントに対応するものは、球面調和関数で構成するモーメント
  - 球面調和関数は角座標で記述したものがシンプルで(それをデカルト座標にするとごてごてするが)、球面調和関数を使って、複素数モーメントが定義できる
    - $c_{sl}^m = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^\infty \rho^s Y^m_l(\theta,\phi) f(\rho,\theta,\phi) \rho d\rho d\theta d\phi$
    - $c_{sl}^m = \int_{-\infty}^\infty \rho^s Y^m_l(x,y,z) f(x,y,z) dx dy dz$
    - これが単位球面上の模様だとすると、 $\rho=1$ に限定されるし、その場合は $\rho^s$ はsの値によらず1なので、 $c_{sl}^m = c_{s'l}^m$ となる。そしてこれは、球面上の関数 $f$ の球面調和関数分解係数(?)
  - 球面調和関数分解した係数は回転に関してWigner D-matricesで線形和にできる。それをうまく使うことで、rotation invariantsが作れる。それらは $c_{sl}^m$ の線形和でも書けるし、Central momentsを使っても書ける
Conclusion