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対数をとって凸か凹か

分割 対数 確率
  • 単調減少関数 g(x);\ x\in [0,)がある
  • 今、X=x_1 + x_2と言う２分割を考える
  • g(X)とg(x_1) + g(x_2)の大小はどう決まる？
  • 原点から(X,g(X))への直線はf(x) = \frac{g(X)}{X} xである
  • 今、g(x) >= f(x)であるなら、g(x_1) + g(x_2) >= f(x_1) + f(x_2) =\frac{g(X)}{X} (x_1+x_2)=\frac{g(X)}{X} X= g(X)
  • ある生起確率関数G(x);\ G(0) = 1があるとする
  • 生起確率G(X)と、G(x_1)\times G(x_2)とを比べたいとする
  • この大小は、g(x) = \log{G(x)}を取って上記を検討することでわかる
  • G(x) = exp^{-ax}　→ g(x) = -axの場合は分割の影響がない特別なケースであるとわかる
  • 特別な場合について、g(x)の特性を確認することは有用
    • \frac{X}{k}というXのk等分割
    • 特別な関数であって、G(x) = 1 \ x < x_pや、G(x) = 0 \ x > x_q
    • g(x) = a_t x^t