わたしのためのテンソルと微分形式
- 空間がある。曲がっているかもしれない
- 空間上の点にはテンソルが置かれている
- テンソルというのは、あえて座標系を定めれば、多次元アレイのように表現されるもの
- ただし、ベクトルが向きと長さを持っているものであって、数値列として表す必要がないのと同様に、アレイで表す必要はない
- テンソルはベクトルの(０回以上の)積であるのが基本で、この積では、座標系で表せば、要素数が、ベクトルの要素数の積になっていく仕組みになっている
- このようにテンソルはベクトルの積になっていて、積をすればするほど次元が上がって行ってしまうのだが、次のことから、小さくなることもある
- 空間には、ベクトルと１形式というものがある。どちらもベクトルのようなものだが、異なる世界の存在である
- 異なる世界を
とする
- 何が違うかというと、同じ長さのベクトルと１形式との積は、長さの２乗の成分のテンソルになるのではなく、スカラーになる
- さきほどテンソルはベクトルの０回以上の積と書いたけれど、今はベクトルと１形式とがあるので、テンソルは、ベクトルと１形式とを適当な順番に並べた積である
- 途中で１形式 ｘ ベクトルとするとスカラーに縮む(縮約)するので、結局、左から、ベクトルがいくつか並び、ベクトルが終わったら、１形式がいくつか並ぶ、という並びに縮約を介して落ち着いてしまう
- したがって、テンソルは、
(
は左から並ぶベクトルの個数、
はその後に引き続く１形式の個数として、その特徴を表すことができる。
と書くことにする
- この記法に従うと、スカラーは
、ベクトルは
、１形式は
となる
- この記法を見ると、テンソルは次のような作用があるというように見える。
となり、スカラーを返すという作用を持つ
- この見方をすると、
は『ベクトルと１形式を受け取って、係数wiseな積の和』という作用を表すものと見える。ベクトルが２つあるときには、そのままでは係数wiseな積の和という計算はできないが、
に二つのベクトルを渡せば、スカラーがが返るから、これが内積を定義する。実際、空間で内積を定義するのばリーマン計量なので、リーマン計量は、
なるテンソルの作用となる。この１形式の内積を返すテンソルはリーマン計量の逆になっている
- 計量テンソルは２つのベクトルをとってスカラーを返すが、１つのベクトルをとると、「もう１つのベクトルをとればスカラーを返す作用を持つ状態」を返す。これは１形式のこと。したがって、計量テンソルに１つのベクトルを渡すと１形式が作れる。逆に、計量テンソルの逆に１つの１形式を渡すとベクトルが作れる
- リーマン計量テンソルは大事
