共変ベクトル　反変ベクトル - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

共変ベクトル、反変ベクトルはテンソルをやると出てきてしまってごちゃごちゃするので、メモ(こちらを参考に)
n次元空間で、第１次元方向の単位ベクトルをk倍にする(それ以外は変えない)ような座標系の変換を考える
位置を表す係数ベクトルは、第１次元方向について1/k倍する。これが反変。
反変ベクトルは、基底の線形和として表されている。
他方、第１次元方向の傾きのための係数(微分の係数)は $\frac{\partial}{\partial x_1}$ と書くことからもわかるように、第１次元方向への微小距離(微小単位距離)あたり(分母に来ている)の「微分」の微小変化量を表さないといけないので、微小変化量がk倍になっていれば、それに対応して分母相当値もk倍する。これが共変。共変ベクトルは接空間を取ってそれを「こちらの世界」に戻してやったもの(らしい)
共変ベクトルは、「関数」であって、基底に対しては、「基底を受け取って何かを返す作用」になっている。
各ベクトルの「単位」に着目すると、共変・反変の区別はつく(かもしれない)
ちなみに、反変の変換は(成分ごとに比較しやすいように、次元は２に下げてある)
$\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{1 new}}{\partial x_{1 old}} & \frac{\partial x_{1 new}}{\partial x_{2 old}} \\ \frac{\partial x_{2 new}}{\partial x_{1 old}} & \frac{\partial x_{2 new}}{\partial x_{2 old}} \end{pmatrix}$
これに対して、共変の変換は、各成分の分子分母をひっくり返す
$\begin{pmatrix}\frac{\partial x_{1 old}}{\partial x_{1 new}} & \frac{\partial x_{2 old}}{\partial x_{1 new}} \\ \frac{\partial x_{1 old}}{\partial x_{2 new}} & \frac{\partial x_{2 old}}{\partial x_{2 new}} \end{pmatrix}$
ベクトルは、共変のそれと反変のそれがある。テンソルはベクトルの積なので、共変ばかりの場合もあれば、反変ばかりの場合もあり、混合の場合もある