一般次元直三角錐上の格子点の増え方

  • 昨日素数を軸とする多次元格子の話を書いた
  • 一般化しよう
  • d次元立方格子の非負部分を考える
  • そこに\sum_{i=1}^d a_i z_i=vなる超平面をとる
    • ただし、すべてのiについてa_i > 0であり、任意のi\ne jについて\frac{a_i}{a_j}無理数であるとする
    • こうすることで、非負部分立方格子はこの超平面で2分され、かつ、この超平面上にはたかだか1個の格子点しか存在しなくなる
  • 今、a_1 > a_2 > a_3 ...とする
  • ここで、超平面上の点が第k番目の要素を1として、それ以外は0の点(0,0,...,1,0,0,...)を含んでいるような超平面を\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_k}とすれば、v_{s_k} = a_kである
  • 同様にしてv_{s_{k+1}}=a_{k+1}を定めよう
  • このとき超平面\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_k}\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_{k+1}}との間に挟まれた格子点の数はいくつになるだろうか
  • 実際、第k番目の素数(p_i)と第k+1番目の素数との間の自然数の個数は、a_i = \frac{1}{\log_{p_i}2}としたときの、この超平面間の格子点数のことである
  • じゃあ、これをvに関して、格子点を持てば値あり、持たなければ0である、という櫛関数であるとしよう
  • この櫛関数のフーリエ変換って、何になるんだろう?
  • なぜそれを考えるかと言えば、N以下の素数の個数を表すのに使われるリーマンのゼータ関数複素数解の虚部の櫛関数のフーリエ変換は、log(素数べき)が0ではない櫛関数になるという対応とかなり近い関係だから…