ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2013-11-05

一般次元直三角錐上の格子点の増え方

素数ゼータ関数 R 格子点

昨日、素数を軸とする多次元格子の話を書いた
一般化しよう
$d$ 次元立方格子の非負部分を考える
そこになる超平面をとる
- ただし、すべての $i$ について $a_i > 0$ であり、任意の $i\ne j$ について $\frac{a_i}{a_j}$ は無理数であるとする
- こうすることで、非負部分立方格子はこの超平面で２分され、かつ、この超平面上にはたかだか１個の格子点しか存在しなくなる
今、 $a_1 > a_2 > a_3 ...$ とする
ここで、超平面上の点が第k番目の要素を１として、それ以外は0の点 $(0,0,...,1,0,0,...)$ を含んでいるような超平面を $\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_k}$ とすれば、 $v_{s_k} = a_k$ である
同様にして $v_{s_{k+1}}=a_{k+1}$ を定めよう
このとき超平面 $\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_k}$ と $\sum_{i=1}^d a_i z_i=v_{s_{k+1}}$ との間に挟まれた格子点の数はいくつになるだろうか
実際、第k番目の素数( $p_i$ )と第k+1番目の素数との間の自然数の個数は、 $a_i = \frac{1}{\log_{p_i}2}$ としたときの、この超平面間の格子点数のことである
じゃあ、これをvに関して、格子点を持てば値あり、持たなければ0である、という櫛関数であるとしよう
この櫛関数のフーリエ変換って、何になるんだろう？
なぜそれを考えるかと言えば、N以下の素数の個数を表すのに使われるリーマンのゼータ関数の複素数解の虚部の櫛関数のフーリエ変換は、log(素数べき)が0ではない櫛関数になるという対応とかなり近い関係だから…