自分の話題と他人の話題をつないでおく

• こちらでグラフの圧縮に関連してグラフの平面性について考えている
• 平面的なグラフの典型例として、平面格子が考えられる
• 平面をユークリッド平面とすれば、の格子になり、これは「おねえさんの経路数え上げ」と同じ
• ただし、平面分離定理は、格子のような平面グラフではなく、もっと一般に「平面的な」グラフに言えること。たとえば、曲面状に広がるサンゴが襞をうねらせて広がっているような状況を考える。その曲面を格子でモデル化すれば、これは双曲幾何的な格子。この場合は、すべてのノードの次数が4より大きくなり、格子グラフのノード数はよりも大きくなる。大きくなるが、平面分離定理では、グラフのノード数の関数としてフロンティアノード集合の最大要素数に上限を与えている
• さて。こちらでリー群のことを書いた。代数統計的に多次元分割表を扱い、そこに回転行列を入れたり、トーリック・イデアルをとったりするテーマをやっている人との会話が発端
• カテゴリ尺度の扱いのために正単体が出てくるのだが、それはコクセター群(こちら)でいうところの
• コクセター群は対称性に着目した幾何的な素材を出発点とした群で、ユークリッド幾何の上でのコクセター群が初めに取り扱われるけれど、もちろん、非ユークリッド幾何の上のそれもある、ということで、コクセター群→(ユークリッド、球面、双曲面)
• またコクセター群→特定の幾何対象の群→三角形の群(こちら)→(ユークリッド幾何での三角形タイリング、球面幾何での三角形タイリング、双曲幾何での三角形タイリング)→双曲幾何的曲面の上の格子
• その他
  • コクセター群では、ルート・システムと言うのがあって、わかるとよいことがありそうな術語だけれど、日本語記事もないし、結構つらいのだが、一応、Wiki記事にリンクを(こちら)
    • ちなみに、正単体の群の場合のルートの数はらしいのだが、これは正単体の辺の数の２倍、ということで、正単体埋め尽くし状態での格子上の移動の１歩の種類のことで、マルコフ基底とかに近いのでは…と思うのだが、ルートの数の意味合いからして、まだ、不明
  • リー群のひとつ、回転群、その「種」に回転軸に対応した行列があって、それの指数行列化のことが書いてある(こちら、これもメモ)