2013-01-09

知識の仕組み

再帰グラフ集合

"Listは再帰性を特徴とするデータ構造"という話からの「脱線」話題
知識を考える。こちらのように
切り口がいろいろあるのだが、この記事ではこんな風に考えてみることにする
- 知識はこれ以上小さくできないという「要素」が $n_0$ 個あるものとする
- $n_0$ 個の要素の亜集合を取って、それを組み合わせて(ただの集まりとしてもよいし、グラフを作ってもよいし、記号論理とか一階述語論理とかk階述語論理とかにしてもよい(そんな論理も「要素」から作っておかないといけないのだけれど))たものを、やはり「知識」とすることとする
- 要素のいくつかを使ってできた「知識」もあらたに、「要素」に加えることとする
  - たとえば、何かしらを学んだ末に、ある「定理」が理解できたとする。その「定理」はより小さな要素から構成されているが、次に何かを理解して新知識を定着するときには、その「定理」を要素として使うこととして、「定理」の中身の詳細については「わかったもの」として詮索しないで知識を積み上げることができる、そんな状況を想定している
- このようにすると、個の要素を組み合わせて新たに生じせしめる知識が個あるとすると、この時点で個の知識があることになる
  - ちなにみ、 $n_0$ 個の要素を集合として、そのべき集合の要素数は $2^{n_0}$ 個あって、ここで空集合は知識ではないので排除することにすると、 $n_0 \le n_1 \le 2^{n_0}-1$ なる関係があるだろう
- このステップを何度も繰り返していくものとする
  - $n_i \le n_{i+1} \le 2^{n_i}$ である
ここで、新たにできる知識について、要素の組(亜集合)についてのみ考慮して、その内部の構造については、無視することにする
そのような単純化をしても、このステップにより、最大で、なる勢いで知識が増えて行く
- $n_0=3$ の場合で、3、7、127、 $1.701412 \times 10^{38}...$ 、とこのようにあっという間。
もちろん、こんな「あっという間」の増大ではなく、 $n_i-n_{i-1}$ がわずかずつになっているのが実状だろう
では、と増えて行くときに、こののベクトルが同じであれば、それは知識体系として同じなのか、そうでないなら、どこが知識体系として違いとして大きいのか、ということを考えてみる
- として
  - $\{\1=\{1\},2=\{2\},3=\{3\},4=\{4\}\}$ とする
- として
  - $\{5=\{\{1\},\{2\}\},6=\{\{3\},\{4\}\},\1=\{1\},2=\{2\},3=\{3\},4=\{4\}\}$ とする
- として
  - $\{7=\{\{5\},\{3\},\{4\}\},5=\{\{1\},\{2\}\},6=\{\{3\},\{4\}\},\1=\{1\},2=\{2\},3=\{3\},4=\{4\}\}$ ]と
  - $\{7=\{\{5\},\{1\},\{3\}\},5=\{\{1\},\{2\}\},6=\{\{3\},\{4\}\},\1=\{1\},2=\{2\},3=\{3\},4=\{4\}\}$ との
  - ２種類を考える
  - 上の例では $\{7\}$ は表面的には３つの要素で構成され、そのうちの一つ $\{5\}$ がさらに２つの要素で構成されているので、実質的には、４つの要素で構成されている
  - 下の例では $\{7\}$ 同様に表面的には、３つの要素で構成され、そのうちの一つ $\{5\}$ がさらに２つの要素で構成されているところまでは、上の例と同じだが、 $\{5\}$ の構成要素のうちの一つは $\{7\}$ の表面的構成要素の１つである $\{1\}$ であって、実質的には３つの要素で構成されている
  - 下の方が複雑な感じがするが、その真偽のほどは「複雑とは何か」を決めないとはっきり言えない
何が違うかと言えば、基本要素の数 $n_0$ が少ないままに、構成的な $n_i$ の値を大きくしているか、 $n_0$ を多くして、同等の $n_i$ を達成しているか、という違いに、ひとつ眼が行く
また、 $n_0$ の値と $n_i$ の値が等しい場合に、あっちでも使い・こっちでも使いとなっていたり(分岐木のようになっているか、サイクルのあるグラフになっているか)
幾重にも入れ子になっていたり
入れ子の具合が「ロシア人形マトリョーシカ」のように「玉ねぎの皮むき」のように、包含関係だけでできているか、包含関係に順序が入れられないような構造になっているか
なども問題になりそうである
さて、こんな具合の「知識体系」を納めるデータ構造には入れ子(recursive)が不可欠っぽいけれど、どんな風にすればよいだろうか？
さらに、それが(神経の)回路でできているとしたら、どんな仕組みで可能だろうか？