ryamadaのコンピュータ・数学メモ

2011-07-05

ネイピア数は1から無限大までの「中点」

- $x^{\frac{1}{x}}$ の極大値のこと

- - このグラフ。 $2^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{1}{4}}$ というように $x=2$ , $x=4$ で同じ高さ
  - では、これ以外に「同じ高さ」になる２点はどういう点だろうか？
  - $x_1^{\frac{1}{x_1}}=x_2^{\frac{1}{x_2}}$ を満足させたい
  - 書き換えて $x_1^{x_2}=x_2^{x_1}$
  - 今、 $x_2=x_1^k$ というような場合を見よう
  - $2,4$ の場合は $x_1=2,x_2=4,k=2$ である
  - $x_1^{x_1^k}=(x_1^k)^{x_1}$ であるから $x_1^{x_1^k}=x_1^{k\times x_1}$
  - したがって、 $x_1=k^{\frac{1}{k-1}$ (この関数は、もともと扱ってきた $x^{\frac{1}{x}$ と似ています)
  - これで見ると、2と4,1.73( $\sqrt{3}$ )と5.196( $\sqrt{3}^3$ )というような対応がある(以下に示す)

> x1
[1] 2.000000 1.732051 1.587401 1.495349 1.430969 1.383088
[7] 1.345900 1.316074 1.291550
> x2
[1]  4.000000  5.196152  6.349604  7.476744  8.585814  9.681613
[7] 10.767202 11.844666 12.915497

- - さて、 $k=1$ のときはどうなるのだろうか…極限はネイピア数
  - $\lim_{k \to 1} k^{\frac{1}{k-1}}=e$ なのですね

k<-c(1.00001,2:10)

x1<-k^(1/(k-1))
x2<-k^(k/(k-1))

y1<-x1^(1/x1)
y2<-x2^(1/x2)

x1
x2

- - これを使うと $x^{\frac{1}{x}}$ のグラフは $1\le x \le \infty$ について、ネイピア数を中心に対称的なグラフにできて

x<-seq(from=1,to=10,by=0.1)
plot(x^(1/(x-1)),x^(1/x))