覚書き - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

複素解析と流体力学

作者: 今井功
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 1989/04/01
メディア: 単行本
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複素平面というのがある
実数軸と虚数軸が直交していて $e^{i \theta}=\cos \theta + i \sin \theta$ という関係で表されるものであって、値のペアに関する演算があたかも、指数関数 $e$ のそれで「代用」できる優れもののこと
多次元版三角関数について、こんな思い付きのメモも書いた
その心は、「角座標」って何かな、というもの
別の考え方をしてみる
今、１次元無限空間にあって、原点からの距離 $r_1$ を考える。 $-\infty \le r_1 \le \infty$ である
２次元無限空間中の単位円を考える。単位円の円周は、 $0 \le r_1 \le 2\pi$ の閉じた１次元空間であって、その閉じた１次元空間における「距離( $r_1$ )」が「角度」である。その角度としての $r_1$ を指定した上で、この無限２次元空間上の点を、原点からの距離 $r_2$ を用いて、 $(r_1,r_2)$ として、位置を定める方法が、極座標。三角関数は、 $r_1$ と無限２次元空間のユークリッド座標とを対応付ける規則のこと
さて、次元を一般化する。 $k-1$ 次元まで、あるルールで定めた、「お勝手な極座標」にて $(r_1,r_2,...,r_{k-1})$ として座標が定められているとする。これは、無限 $k-1$ 次元空間の「お勝手な極座標」である。これを $k$ 次元に持ち上げるにあたって、 $k$ 次元空間中の単位球表面に、この $k-1$ 次元空間をおしこめる。このおしこめた $k-1$ 次元の閉空間に「お勝手な極座標」( $\theta^{k-1}$ )が与えられたとき、無限 $k$ 次元空間中の点は、その原点からの距離 $r_k$ と( $\theta^{k-1}$ )(これが、多次元の立体角)とであらわすことができる・・・。というような一般化もできる。これは、地球儀で言えば、経度と緯度に相当・・・。このとき、 $0 \le r_i \le 2\pi, (i=1,2,...,k-1)$ 。また、 $\frac{\prod_{i=1}^{k-1} r_i}{(2\pi)^{k-1}$ が立体角。
これが、いわゆる超球の角座標(こちら)なわけですが