ryamadaのコンピュータ・数学メモ

余弦の出来

三角関数多次元

今、 $k$ 次元空間を考える。
正規直交規定のベクトルを $e_i; i=1,2,...,k$ とする。
この空間の単位球面上の点 $\mathbf{x}=\{x_i\}$ を考える。
定義より $\sum_{i=1}^k x_i^2=1$ である。
この点から、 $e_i$ への、単位球面上の道のりを $\theta_i$ とする。
このことは、ベクトル $\mathbf{x}$ が、原点から、 $e_i$ と $\theta_i$ の角度を持つようなベクトルであるように $\mathbf{x}$ をとる、ということでもある。
$k$ 次元単位球面は $k-1$ 自由度なので、この $(\theta_i)$ には、１つの制約式があるはず。
それは、 $\sum_{i=1}^k \cos^2(\theta_i)=1$
これは、 $\mathbf{x}$ と $e_i$ の内積が $x_i$ であることから、その２ベクトルの成す角が $\cos^{-1}(x_i)=\theta_i$ であることから $\cos(\theta_i)=x_i$ の関係にあることから明らか。
$k=2$ の場合というのは、 $\cos^2(\theta_1)+\cos^2(\theta_2)=\cos^2(\theta_1)+\cos^2(\frac{\pi}{2}-\theta_1)=\cos^2(\theta_1) + \sin^2 (\theta_1)=1$ という特殊な場合であることもわかる。
関連記事はこちらやこちら