アフィンスキーム、可換環、代数幾何
- こちらのブログの３記事でアフィンスキームが書かれている(第１
tsujimotter.hatenablog.com
、第２
tsujimotter.hatenablog.com
、第３
tsujimotter.hatenablog.com
)
- 代数幾何では、多項式の零点集合を考えて、それを多様体～空間として考えることで代数「幾何」になっている
- 多項式には色々な表現があるが、それを一意性を持って議論するための道具立てがイデアルとかラジカル・イデアルとかになる。ラジカル・イデアルと素イデアル(プライム・イデアル)とはどちらも「構成素として大事な」もの…(こちら
- 代数多様体が多項式の世界(多項式環)で定まっているけれど、それの双対(のようなもの。。。多分、双対そのもの)として、座標環というものが取れるらしい
- この座標環は、多項式全体をイデアルで同一視したもの(商環？）に相当する
- 多項式環では、多項式を「数」と見ているから、その加減乗除を考えるし、ある多項式で割って割り切れるかどうかを考えることは、もちろん自然なこと
- 代数多様体は「多項式のセットが定めた」「点の集合」だったが、座標環の方は、「関数の集合」になっている
- この座標環も環だから、一意性を持って議論するには道具立てが必要で、素イデアルを考えたい。この素イデアルのことをスペクトルと言う(らしい)
- 素イデアルの「素」は素数の「素」だが、それは、イデアルで割って割り切れるかどうかという話とつながっている
- このスペクトルには、包含関係(のようなもの）があるから、位相が定められる(この位相をザリスキ位相と言う)
- 位相があるので、座標環の世界にも「幾何」的なものがあることになる
- ここに来て、多項式環から始まって、その座標環側に幾何対象が現れたが、これが、「可換環の幾何」
- 座標環が多項式の零点集合に対して「双対」になっていると書いた
- これは、抽象ベクトル空間において、その空間をスカラー空間に線形写像するとき、線型汎関数の空間を考えることができて、それが双対空間だ、という話と対応する話だから
- と、いうわけで、可換な多項式環と代数幾何とその双対空間的な者の幾何のぼんやりとした話が見えてきたわけだが、この多項式環の方に非可換なものを考えるとき、同様に、双対空間のようなものと、それのスペクトルが作る位相空間を扱うことにすれば、それが非可換幾何ということなのだろう
