2019-05-18

ぱらぱらめくる『Maps, Hypermaps and Related Topics』

Preface
Chapter 1 Maps and hypermaps

Preface

"Regular maps and hypermaps are cellular decompositions of closed surfaces exibiting the highest possible number of symmetries."

Chapter 1 Maps and hypermaps

グラフの定義を扱いやすくする
- 通常、 $G=(V,E)$ というように、グラフは頂点集合と辺集合の組であって、辺は無向または有向であって、始点と終点とのペア情報を持っている、という定義のしかたをする
しかしながらが、ここでは次のような指定の仕方を採用する
$X=(D,V;I,\lambda)$
ここで、Dはdart(矢)の集合であり
Vは頂点集合であって、空集合では無いものとする。また、Dとは共通要素を持たない(Dに対してdisjoint)
IはDをVにマッピングする関数で、Incidence functionと称する。通常のグラフの辺の考え方で言えば、 $Ix$ とは、xというdartの始点に当たるVの要素を指す
$\lambda$ は"involutory permutation of D"のことで、"dart-reversing involution"と呼ばれる。初めはなんのことか分かりにくいが、通常のグラフで言うところの無向辺を異なる２方向の有向辺に分けて考えるとしたとき、片方の有向辺をもう片方の有向辺に対応づけることが可能。どちらの有向辺もDの要素なので、この対応づけは、Dの要素間の対応づけになるが、全てのdartに相方逆向きdartがあるとすれば、その対応づけは、あるタイプの順列になるので、involutory(逆対応の)の順列、とか、dartの向きを反対にする逆対応、とかと称される
反転を指し示すだけなのにわざわざ $\lambda$ と言うような大仰な写像・順列を持ち出すのが面倒臭く、紛れが無い場合には、 $\lambda x = x^{-1}$ と言うような書き方もする
何かしら面倒臭い記法だが、この記法にそうことで、もっと複雑な構造の１次元版であることが分かりやすくなることも、この記法のメリットらしい
その「もっと複雑な構造」とは、CW-complexと呼ばれるものである。CW-complexとはトポロジカルスペースの記法体系のことらしい(こちらを参照)
右側から集合に作用する群と左側から作用する群を使う
- $Sym_R$ の場合は、 $\sigma(z,g)=z \cdot g$ のように書いて、zにgが持つ置換の作用が働くことを表す
- $Sym_L$ の場合は左から
- 部分集合 $G_z = \{g \in G | z \cdot g =z\}$ は集合zのstabilizerと呼ばれる。gを(右から)作用させても変わらない成分が作る部分集合だから
- 置換をなんども繰り返してぐるぐる周りする部分集合ができることもある。そんな $z \cdot g$ の集合をzのorbitと呼ぶ $\{z \cdot g \in \Omega | g \in G\}$ 　(ここの $\Omega$ はGの間違いじゃ無いかなー）
- 要するにGを作用させて、 $\Omega$ の中に納まり続けるのがorbitの条件
- その中で、 $\Omega$ のある要素から別の要素へと移るorbitがGの要素のある特定の１つで決まるとき、transitiveであると言う
- たとえば、ある点から発しているdartをその点から発している別のdartに時計回りに移すような $g$ は、この点から発するdartのorbitを作る。頂点の周りを回すlocal rotationのorbit
- $x$ を $\lambda x = x^{-1}$ に変える作用は、２つの有向dartsのペアとしての辺をつくる。これもorbitの例
- 頂点周りのorbitにdart反転を作用させると、ぐるりを多角形を作るorbitsができる
- 頂点周りをR、dart反転をLとすると、RLとしてこれを表す
向きつけられたマップは $G=(D,V;I,L)$ と、始頂点を同じくするdartsを順繰りに回転させる順列Rとで $(G;R)$ として表現できる
RLの例
- 正四面体の４頂点を(1,2,3,4)として、dartsを、始点・終点の２数の並びで表すことにする
- ４頂点周りＲのdartsは(12,13,14)(23,21,24)(31,32,34)(41,43,42)と表される
- 反転のＬは(12,21)(13,31)(14,41)(23,32)(24,42)(34,43)と表される
- RLっていうのは、Lをして、Ｒをして、Ｌをして、Ｒをして、の繰り返し
- たとえば、12からスタートしてみよう
  - 12にＬをすると、21になる。21にＲをすると、(23,21,24)というのがあるから、24になる。24にLをすると42になる。(41,43,42)というのがあるから、42にＲをすると、41になる。これにＬをして14、それにＲをすると12。戻ってきた。
  - これを、RLの処理が終わった後のdartとして並べると、(12 24 41)というものができて、これは、３角形の３辺をある向きにぐるりと回ったサイクルになっている
  - 他も同様で、結局、(12,24,41)(21,13,32)(31,14,43)(23,34,42)という４面が現れる
- このことが、 $(G;R)$ で向きつけられたマップがGとpermutation Rとで表される、ということを意味している