- こちらが資料
- 団代数という代数がある
- 応用が面白いという
- ちょっと面倒くさいので、自分がわかりにくかった点を補強しながら、説明文を書いておく
- 団代数は、面倒臭い規則によって定められる「変数（団変数）」の整数係数線形和のこと
- この「変数（団変数)」というのは、ある変数のセット（これが団・クラスタの由来）の有理式で表される
- 有理式で表されるものたちを扱いたいので、元となる変数のセットは、代数的に独立で可換であることを仮定すると都合がよく、そのようになっている
- この基本となる変数のセットは、ある規則で、別の変数のセットに対応付けられる
- 別の変数のセットへの対応付けは、１個以上ある
- その対応付けは、変数のセットの構成要素の数だけある
- 別の変数のセットへの対応付けは、ある一つの構成要素ｘ構成要素の正方行列によって規定される
- その正方行列は、反対称化可能行列によって定まる
- つまり、「団代数」は、ある変数のセット
と、ある反対称化可能行列 
とを定めることで定義できるものである
- 少し話を複雑にするのは、このには、グラフが対応することである
- そのグラフは、箙(クイバー）と呼ばれる有向グラフである
- また、は複数の団代数のセットを、別のセットにまとめて変化させる変化規則を定めているが、自体も、その変化規則によって、別の行列に対応付けることができる
- 対応付けは、変数セットの構成要素の数だけある
- それぞれの対応付けは新たな正方行列を生成するが、それも箙になっている
- さらに複雑になる話があるが、それは、上記を理解したうえで、考えるのがよい
- が定める規則として、同じく、変数セットの構成要素の数だけの変化規則を別に定めることができる
- その変化規則によって、別の変数セットとその変化生成変数セットが集合をなす
- この２つの変化規則には、対応関係があって、その結果生じる変数セットとその構成要素間に、特別な対応関係がある
- その対応関係は、双対関係にあるらしい
- 以下は、理解を確かめるためのＲコードとその箙
- 左上の箙を、ノード1,2,3の順に選んで、変化箙を左下、右上、右下に描図
- 変化箙は
- （１）選んだノードへの接続辺の向きを変える
- （2) それ以外の接続関係は、選んだノードkが絡んでいなければ変化させない。選んだノードi,jが両方絡んでいれば、i->kの有向辺がP本（P>=0)、k -> j 有向辺がQ本（Ｑ＞＝０）のとき、ＰＱ本のi->j有向辺を加える。その上で、i-j間の行ったり来たりはキャンセルする
- この計算は、選んだノードがk番目として、行列のk行とk列の操作。追加辺の数は、k行とk列の非負化ベクトルのouter()積が作る、Bと同サイズの行列として計算できる。i-j間の行ったり来たりは、元の行列に増分を加算することで計算できる
> B
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 -1 2
[2,] 1 0 -1
[3,] -2 1 0
# 変化したＢ.
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 1 -2
[2,] -1 0 1
[3,] 2 -1 0
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 1 1
[2,] -1 0 1
[3,] -1 -1 0
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0 1 -2
[2,] -1 0 1
[3,] 2 -1 0
- 三角形分割の箙表現についてはこちら
- 団変数は有理式。その正方行列による変化についてはこちら
- 同じ行列が定める２つの団変数が相互に双対関係にあることはこちらの記事で