グレブナー基底の定義と性質駆け足で読む『What is ... a Grobner Basis?』

グレブナー基底は「多変数の多項式の集合」
グレブナー基底はアルゴリズム的取り扱いをしやすい性質を持つ
任意の多項式集合はグレブナー基底に変換できる
グレブナー基底への変換は３つの方法で行う(グレブナー基底は多項式集合に変換ルールを適用した写像のこと？)。その変換方法は:
イデアル
- 多項式集合と多項式環があると、イデアルができる。イデアルは、多項式環の要素を係数とした多項式集合の(１次)線形結合で表される多項式の集合
- イデアルに対応する要素数有限の多項式集合が必ずある(Hilbert's basis theorem)
項の順序ルール
- 多項式環のすべての項に全順序を定めることとする
- 多項式を構成する項で順位が1位の項を"initial term"と呼ぶ
Initial ideal
- あるイデアル(多項式の集合)のすべての多項式について、その個々の多項式のinitial termが生成するイデアルを"initial ideal"と呼ぶ
グレブナー基底と項の順序ルールとのつながり
- あるイデアルの部分集合Gがグレブナー基底である、とは、次のことを意味する
  - そのイデアルの部分集合である
  - Gのinitial termsがそのイデアルを生成する(多項式環の要素を係数とした多項式集合の(１次)線形結合で表される多項式の集合が、そのイデアルとなる)
  - この条件を満たせば、グレブナー基底(多項式の集合)の要素数に縛りはない
    - したがって、あるグレブナー基底を含む多項式集合もグレブナー基底になる
- とはいえ、「最も小さくしたグレブナー基底」はほしい(呼び名がもほしい)。それを"reduced グレブナー基底"と呼ぶ
- "reduced グレブナー基底"とは
  - グレブナー基底である
  - initial termの係数が1である
  - グレブナー基底のinitial termsはイデアルのinitial termsをminimally 生成する
  - グレブナー基底の要素の"trailing terms (initial term以外のtermsのこと?)"はイデアルのinitial termに含まれない
これらをまとめて：『多項式環と項の順序ルールが決まると、ある多項式集合のreduced グレブナー基底は一意に決まる』
- アルゴリズム的で一意に決まる→計算機が出してくれる→例えばSingular(ソフトウェア)