1.グレブナー基底ぱらぱらめくる『Comutational Algebra and Combinatorics of Toric Ideals』

イントロダクション
- 体 $k$ 上の多項式環 $S:=k[x_1,...,x_n]=:k[x]$ を考える
- $k$ を複素数体とすることを通常とする
- の部分集合をイデアルとする
  - $\forall f,g \in I, f+g \in I$
  - $\forall h \in S, f \in I \Rightarrow hf \in I$
  - イデアル $I$ が $I=\{\sum_{i=1}^t h_i f_i: h_i \in S$ と書けるとき、 $\{f_1,...,f_t\}$ を基底と言う
- 多項式の中で最も単純なのは、単項式ただしは非負整数。これをと書けば、すべての多項式は単項式の線形和で表せて
  - このとき $\{\mathbf{a_j}\}$ を多項式環 $f$ のサポートと呼ぶ
- 多項式の集合に、多様体が対応付けられて、それは
  - $V(f_i,...,f_t)=\{\mathbf{p} \in k^n: f_1(\mathbf{p}) = f_2(\mathbf{p}) = ... = f_t(\mathbf{p}) =0\}$
動機・目的
- Ideal membership problem
  - ある多項式がイデアルに含まれるかどうかを知りたいとする
  - それを解くのにグレブナー基底を使うとよい
  - それがグレブナー基底を用いる理由
いくつかの例
- 単変量イデアル
- 線形イデアル
  - 行列計算 $A p = 0$ の例
  - サーキットというものもあるらしく、それを求めるアルゴリズムもあるらしい(何のため?)
- 単純な例(単変量イデアル、多変量線形イデアル)で、何かしら便利なアルゴリズムがあることの確認がとれたので、多項式イデアル一般に話を広げよう、そこでグレブナー基底がどういう位置づけかを見てみよう
グレブナー基底
- 単純な例でガウスジョルダンの消去法を使った
- 一般化した多項式イデアルに用いるには、これを適用するのを許すような「ルール」が必要らしい
  - それが、式の多項の扱い順序とか多項式の各単項の記述ルールとからしい("term order")
    - 群論アプリでそれを指定しないと、計算してくれなかったこと(こちら)を思い出そう
- 計算できるアルゴリズムがあることがわかれば、とりあえず、その中味について今は、興味がない→Buchberger's algorithmはイデアルのreduced グレブナー基底を導き出してくれるアルゴリズムである、ということがわかればよしとする
そしてMacaulay2を用いた演習がついているので、(やりたくなったら)やろう