グレブナー基底の有用性と使い方 駆け足で読む『What is ... a Grobner Basis?』

• 連立多項方程式を解くのに便利
  • 解は「多項式集合が定める多様体」
  • 多項式集合Fが定める多様体は、多項式集合のイデアルが定める多様体と同じ。また、イデアルに対するreduced グレブナー基底Gの作るイデアルが定める多様体とも同じで、さらに、Gの定める多様体とも同じ、という関係がある
  • Fが定める多様体がemptyである(連立多項方程式の解が無い)とは、Gが{1}であること(Hilbertの零点定理)
  • あるイデアルが定める多様体が有限かどうか。initial idealに含まれない単項式をstandardと呼ぶことにすると、このstandardな要素がイデアルに含まれる数が有限か否かの判定ができる。そしてこのstandardな要素が有限であることは「イデアルの多様体が有限である」ことのif and only if な条件
• 多様体のCardinality(CartinalityのWikiへと話がつながり、それは多様体の次元へとつながる(ようだ)
• グレブナー基底(らしきものがとれたとして)がグレブナー基底であるかの確認方法もある