線グラフ(line graph)からハイパーグラフへ:グラフ代数

• グラフと線グラフとについて前記事に書いた
• 要素集合があったとき、
• いわゆるグラフのノードは個々の要素
• いわゆるグラフのエッジは個々の要素のペア
• 線グラフのノードはいわゆるグラフのエッジに対応して、それは要素のペア
• 線グラフのエッジはいわゆるグラフのノードに対応して、それは要素
• グラフ・線グラフでは、「個々の要素をノードに、要素ペアをエッジ」にするか、「個々の要素をエッジに、要素ペアをノード」にするかの違いがあるけれども、扱っているものが、「要素」と「要素ペア」である点で同じ
• 「要素そのもの」と「要素ペア」とを対象にしているとき、その拡張として、「要素の任意の数の組み合わせ」を対象にすることが考えられる
• それがハイパーグラフ
• 1,2,...,k要素からなる部分集合のそれぞれを「表すか表さないか」「表すとしたらどう(ノード・エッジなど)表すかか」を決めることがダイアグラム表現〜グラフとなっている
• 集合の属・べき集合を意識して束で表した上で、その１要素集合と２要素集合とそれらの関係に着目し、片や、普通のグラフにし、片や線グラフにする様子を図で表せば以下のような感じ