ぱらぱらめくる『逆問題と計測』

• 逆問題という言葉がある(こちら)
• それを考える基礎として、線形代数を前半に、偏微分方程式を後半に置いたのが以下の本

応用例で学ぶ逆問題と計測

• 第I部　基礎編(参考)
  • 未知変数の数が制約式の数より小さくても大きくても特異値分解を経て「答」が出せる
  • 制約式の数より小さいときは、「最小二乗解」
  • 制約式の数より大きいときは、「最小ノルム解」
  • 未知変数の数が制約式の数以下のとき
    • 制約式が全部正しいときと正しくない(誤差を含む)とき

n <- 6
m <- 4

M <- matrix(rnorm(n*m),ncol = m)

a <- runif(m)
f <- M %*% a

#f <- runif(n)

a <- (solve(t(M)%*%M)) %*% (t(M) %*% f)
M %*% a - f

• • • 制約式が正しくないとき(観察誤差があるとき)
      • fを先に決めて、aを逆問題として解く
      • 最小二乗解

n <- 6
m <- 4

M <- matrix(rnorm(n*m),ncol = m)

#a <- runif(m)
#f <- M %*% a

f <- runif(n)

a <- (solve(t(M)%*%M)) %*% (t(M) %*% f)
# 0になる
t(M)%*%M %*% a - t(M) %*% f
# 0にならない
M %*% a - f

• • 特異値分解

s <- svd(M)

D <- diag(s$d)
s$u %*% D %*%t(s$v)
M
D <- diag(s$d)
s$u %*% D %*%t(s$v)
M
Dinv <- diag(1/s$d)
s$v %*% Dinv %*% t(s$u) %*% f
a

• 第II部　応用編
  • 空間を離散化して、時間も離散化する
  • それによって、変化行列の整数乗の計算の逆問題として取り扱う
  • 付録B　二階線形微分方程式の分類
    • 
      • :放物型
      • :双曲型
      • :楕円型
  • 放物型
    • 空間の中で一定の時間微分の法則で拡散・減衰する系
    • 限局した観察点
    • 特定の時刻列における
    • 系の勾配の観察
  • 双曲型
    • 空間の中で、減衰することなく波打っている系
    • 特定の時刻列における
    • 限局した観察点
    • ひずみの量を観察
    • 楕円型
    • 空間の中で、ある強制が存在することによって、定常状態にある系
    • 特定の時刻における
    • 遠位観察点の集合
    • ひずみの量を観察
  • 推定に影響する因子・しない因子
    • 放物型
      • 拡散が開始してから早期に観察を開始するのがよい
      • 観察点の数がもたらすメリットは頭打ちになる
      • 観察時刻列を細かくしてもメリットは大きくない
    • 双曲型
      • 十分な情報が取れれば、観察時間をそれ以上に延ばすことのメリットはない
      • 計測の開始時刻は関係ない
      • 観測点はまんべんなくおくことのメリットがあり、その密度のメリットは頭打ちになる
    • 楕円型
      • 強制因子と観察点の距離の小ささがメリットとなる
      • 観察点の近さをよくしなければ、その他の条件(観察点の数やその密度)はメリットを生まない
      • 推定対象を観察点が囲むことがメリット。囲まないと「眺められない部分」が対象に生まれる