2012-03-03

区画化の意味

天体運動の例
- その運動の様子
  - 地球は太陽の周りをまわっている
  - 月は地球の周りをまわっている
  - おおまかに眺めると、太陽は止まっている
  - 地球は円軌道を描いている
  - 月はトーラス軌道(二重周期)を描いている(本当は違うけれど)
- その微分方程式の様子
  - 太陽の座標は原点で動かない
  - 地球の座標は、xy平面の円運動
    - $X=R\cos(Kt)$
    - $Y=R\sin(Kt)$
  - 月の座標は、地球の周りの円運動
    - $x=R\cos(Kt)+r\cos(Kt)\cos(ku+\Delta)$
    - $y=R\sin(Kt)+r\sin(Kt)\cos(ku+\Delta)$
    - $z=r\sin(ku+\Delta)$

t<-seq(from=0,to=1,length=1000)*2*pi*2
K<-1
k<-13
delta<-0.1
R<-5
r<-1
x<-R*cos(K*t)+r*cos(K*t)*cos(k*t+delta)
y<-R*sin(K*t)+r*sin(K*t)*cos(k*t+delta)
z<-r*sin(k*t+delta)

library(rgl)
plot3d(x,y,z,type="l")
X<-cbind(x,y,z)
matplot(X,type="l")
rr<-range(X)
X<-rbind(X,rep(rr[1],3),rep(rr[2],3))

plot3d(X,type="l",col=c(rep(1,length(t)-1),rep(0,3)))

生態学的(昨日の記事こちら)記載から考えれば、生態学モデルと化学反応モデルは同じなので、化学反応的とも言い換えられる)に翻訳する
- 地球の座標の $X,Y$ はある区画での２生物の人口であると考える
- それらは、捕食・非捕食の関係なので、周回軌道を描くとする
- 地球の衛星である月の座標 $x,y,z$ は、地球の座標が表している区画とつながっている小区画における、３生物の人口であると考える
- それらのうち、 $x,y$ は $X,Y$ と同じ種を表していて、大区画での $X,Y$ の変動が $x,y$ に反映するものとする
- 逆に、大区画は小区画に比べて、十分に大きいので、小区画での変動が大区画に影響することはないものとする(地球の動きによらず、太陽が不動であるとか、地球の動きは太陽の周りを回るだけで、月の影響を受けないとか、そういう省略化に相当する)
- 小区画の中では、(x+y)とzとの間で、捕食・被捕食の関係があるものとする
- このようなモデルを立て、しかも、簡単のために、人口は「負」にもなりうるとして、 $X,Y,x,y,z$ の連立微分方程式を作ると次のようになる
- $\begin{pmatrix} \frac{dX}{dt}\\\frac{dY}{dt}\\\frac{dx}{dt}\\\frac{dy}{dt}\\\frac{dz}{dt}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0, -1, 0, 0, 0 \\ 1, 0, 0, 0, 0 \\ 0, -1, 0, 0 v_1 \\ 1, 0, 0, 0, 0 v_2 \\ 0, 0, v_3, v_4, 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X\\Y\\x\\y\\z\end{pmatrix}$


v1<--0.5
v2<--0.5
v3<-0.1
v4<-0.1

M<-matrix(c(
0,-1,0,0,0,
1,0,0,0,0,
0,-1,0,0,v1,
1,0,0,0,v2,
0,0,v3,v4,0
),byrow=TRUE,5,5)

e.out<-eigen(M)

V<-e.out[[2]]
Vinv<-t(V)
Xinit<-runif(5)
t<-seq(from=0,to=1,length=1000)*1000
X<-matrix(0,length(t),5)
for(i in 1:length(t)){
	tmpM<-V%*% diag(exp(e.out[[1]]*t[i]))%*%Vinv
	X[i,]<-tmpM%*%Xinit
}

matplot(Re(X[,3:5]),type="l")

rr<-range(Re(X))
X<-rbind(Re(X),rep(rr[1],5),rep(rr[2],5))

plot3d(Re(X[,3:5]),type="l",col=c(rep(1,length(t)-1),rep(0,3)))

階層化とコンパートメント化
- 太陽と地球の関係・地球と月の関係とを、階層化して分離した
- 生物の居住空間(化学反応の場)を大区画・小区画に階層化して分離した
生物人口(化合物の量)に対応づけるために、上述のモデルを少しいじるだけでうまく行くだろうか？