ryamadaのコンピュータ・数学メモ

モーメントで標本の値を表す

分散モーメント自由度

昨日の記事の続き
実数標本が $n$ 個ある
その値を $X(n)=\{x_i\};i=1,2,...,n$ とする
$X(n)$ の $k$ 次モーメントを $S_k(X(n))$ とする
今、のとき
- $S_1(X(n=1))=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i$ で、 $S_1(X(1))=x_1$
のとき
- $S_1(X(n=2))=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^2 x_i$
- $S_2(X(n=2))=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^2 x_i^2$
- これを解くと $X(n=2)=\{\frac{S_1 + \sqrt{2 S_2 -S_1^2}}{2},\frac{S_1 - \sqrt{2 S_2 -S_1^2}}{2} \}$
今、のとき、のすべての要素がで式表現できるとする
- $n$ が１増えて $n+1$ になったとすると
- $\sum_{i=1}^{n+1}x_i^k = S_k(X(n+1))$ という式が $n+1$ 個ある
- 変形して $\sum_{i=1}^{n} x_i^k = S_k(X(n+1))-x_{n+1}^k$
- 今、については、その要素が次モーメントで式表現できると仮定しているので、上で示した、個の式のうち、最後の式を除く個の式から
  - $\sum_{i=1}^n x_i^k = F_k(S=\{S_1,S_2,...,S_n\},x_{n+1})$ が言える（だろう）
  - すると、 $n+1$ 個の最後の式の $x_i;i=1,2,...,n$ に代入することで、この式は、 $x_{n+1}$ に関する $n+1$ 次方程式になる。
  - この方程式は、最大で $n+1$ 個の実数解をもつ。
  - ここで、 $X(n+1)$ の要素はすべて入れ替え可能なので、この $n+1$ 個の実数解が $X(n+1)$ の要素に一致する（はず）
これでいいような、何か抜けているような。