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確率変数の和を特性関数の積で考える

特性関数 複素関数 分布
  • こちらで、レヴィ飛行と分散の和から、安定分布・特性関数の話になって、次の３項目についてわからないことが多いことに至った
  • 安定分布は、こちらに書いたように、同じ分布の確率変数を独立に足し合わせても、やっぱり元の分布になる、そんな分布が安定と呼ばれるということで了解した
  • 複素関数は、実数を複素数に拡張することで、１次元の実数を実数のペア(２次元)にする、その取扱いにあたって、指数関数、複素平面の極座標とかが使えるという話だった(こちら)
  • 最後に残ったのが特性関数。
    • どうして、特性関数にe^{ixt}と、いかにも複素平面的なものを使わないといけないのか、使うことになったのか。
    • 上で述べた「安定分布」「複素関数」の共通点を拾うと、「独立な確率変数の足し合わせ」を「掛け算」にすることから、「２つのもの(確率変数)」「和を積に」するの２点が出てくる。
    • 和が積になるのは指数関数の特徴
    • 独立な２つのものを幾何表現すると２次元直交座標の平面になる
    • だから、２次元のものを、あたかも１つ数で取り扱える複素数が便利だ、だから、e^{ixt}を持ち込む、と、そんなところでしょうか。
    • この真偽は別として、こう考えると、頭には定着する、か。
  • コメントをいただきました