確率変数の和を特性関数の積で考える - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで、レヴィ飛行と分散の和から、安定分布・特性関数の話になって、次の３項目についてわからないことが多いことに至った
- 安定分布
- 特性関数
- 複素関数
安定分布は、こちらに書いたように、同じ分布の確率変数を独立に足し合わせても、やっぱり元の分布になる、そんな分布が安定と呼ばれるということで了解した
複素関数は、実数を複素数に拡張することで、１次元の実数を実数のペア(２次元)にする、その取扱いにあたって、指数関数、複素平面の極座標とかが使えるという話だった(こちら)
最後に残ったのが特性関数。
- どうして、特性関数に $e^{ixt}$ と、いかにも複素平面的なものを使わないといけないのか、使うことになったのか。
- 上で述べた「安定分布」「複素関数」の共通点を拾うと、「独立な確率変数の足し合わせ」を「掛け算」にすることから、「２つのもの(確率変数)」「和を積に」するの２点が出てくる。
- 和が積になるのは指数関数の特徴
- 独立な２つのものを幾何表現すると２次元直交座標の平面になる
- だから、２次元のものを、あたかも１つ数で取り扱える複素数が便利だ、だから、 $e^{ixt}$ を持ち込む、と、そんなところでしょうか。
- この真偽は別として、こう考えると、頭には定着する、か。
コメントをいただきました
- フーリエ変換という道具立てがあった
  - フーリエ変換が三角関数なのは、三角関数の特徴(周期性、２つで相互補完関係にある)から
  - 熱伝導方程式の一般解(こちら)やこちら
- あったものは使うことになった
- 特性関数が得られた
  - 特性関数とその逆変換(こちら)
- フーリエ変換・三角関数を直交の関係でとらえることと複素数・オイラーの式は同じことなので、 $e^{ixt}$ が特性関数に入った
- 確率密度関数のフーリエ変換をするところから始まった特性関数は、特性関数の定義を固めることで確率密度関数が書けない場合にも定義が広がった
- 出来上がってから考えてみると、２次元のための関数(複素関数・三角関数)の特徴を駆使することと、確率変数の一般的な足し合わせの最小ユニットである、２変数足し合わせ(＝２次元)を説明する道具立てであることという見方ができるようになった