形を描く関数 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで女性の体幹上部の腹側表面を描く関数の話をしている

(Wikiから)

冠状面(Coronal plane)をxy平面とし、y軸を尾側から頭側方向軸、x軸は右から左へ向かう軸、矢状軸(Saggital axis)をz軸として取っている(解剖学における方向用語はこちら)
ソースはこちらにRのそれがある
そのソースは下掲するが、その関数を取り出そう
$z = f_1(x,y) + f_2(x,y) + f_3(x,y)$
$f_1(x,y) = \frac{1}{8} \times (6 e^{(-((\frac{2}{3} |x| - 1)^2 + (\frac{2}{3} y)^2) - \frac{1}{3} (\frac{2}{3} y + \frac{1}{2})^3)}$
$f_2(x,y) = \frac{2}{3}\times e^{-2.818^{11}((\frac{2}{3}|x|-1)^2+(\frac{2}{3}y)^2)^2}$
$f_3(x,y) = \frac{2}{3}y-(\frac{2}{3} x)^4$
パーツを眺めて置き換える
$f_1(x,y) = \frac{1}{8} \times 6 e^{-g_1(x,y) -\frac{1}{3}( h_1(y) + \frac{1}{2})^3 }$
$f_2(x,y) = \frac{2}{3} \times e^{-2.818^{11}(g_1(x,y))^2$
- $g_1(x,y) = h_2(x)^2 + h_1(y)^2$
- $h_1(t) = \frac{2}{3}t$
- $h_2(t) = |h_1(t)|-1$
意味合いは：
- スケールの値 $\frac{1}{8},6,\frac{1}{3},2.818$ などは形を整える
- $h_2(t)=|h_1(t)|-1$ の項は、左右の軸で、中央にくぼみを作りつつ、左右端でz値を小さくする。
- $g_1(x,y) = h_2(x)^2 + h_1(y)^2$ は円筒
- $f_3(x,y) = h_1(y)-|h_1(x)|^4$ は頭側が高く尾側が低いことと、左右正中が高いこと
- $g_1(x,y)$ をスケールを変えて２度、使用しているのは、左右対称なある２点を頂上とする２つの山があるから
- $f_1(x,y)$ と $f_2(x,y)$ とでは、 $-\frac{1}{3}( h_1(y) + \frac{1}{2})^3 }$ という項が違う。この項はy軸方向について、基礎となる山に歪みを入れている項で、山上山には、そのような歪みを入れない、という意味である。y軸方向は、ヒトが立位にあるときの重力方向であるから、基礎となる山は、重力の影響を受けて変形する素材であり、山上山は重力による変形がない素材であることを示している、とも言える
と、ここまで分解すると、もう少し、改良できそうに思う。
また、この形が理想形であるとして、では、乳房腫瘤ができたときの形状変化はどのように関数化するのか、とか、その腫瘤による皮膚表面のひきつれというのは、腫瘤の構成成分とどのような関係があるのか、などを持ち込むと、形状診断に持ち込むことも可能である
こちらでは骨盤解剖をやった

library(lattice)
g <- function(x, y) {
 1/8 * (6 * exp(-((2/3 * abs(x) - 1)^2 + (2/3 * y)^2) - 1/3 * (2/3 * y + 1/2)^3) +
        #2/3 * exp(-2.818^11 * ((abs(2/3 * x) - 1)^2 + (2/3 * y)^2)^2) +
        2/3 * y - (2/3 * x)^4)
}
m <- 50
x <- seq(-3, 3, length.out=m)
y <- seq(-3, 3, length.out=m)
grid   <- expand.grid(x=x, y=y)
grid$z <- g(grid$x, grid$y)
wireframe(z ~ x * y, grid, shade=TRUE)