膨らませること、貼り合わせること - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

k次元空間で、原点から距離１にある点の集合が作る図形をk次元球面と言う
１次元では、それは $(1),(-1)$ という２点である
２次元では、それは $(cos(t),sin(t))$ という点の集まりが作る円周である
３次元では、それは $\sum_{i}^3 x_i^2=1$ という点が作る単位球面である
４次元では、それは $\sum_{i}^4 x_i^2=1$ という点が作る４次元単位球の球面である
k次元では、それは $\sum_{i}^k x_i^2=1$ という点が作るk次元単位球の球面である
２次元の円周は、２本の長さ２の線分の両端をくっつけて、中央部を膨らませた形。これは、１次元の中身の充実した球(長さ２の線分)の両端(１次元球の球面)を張り合わせたもの
３次元の球面は、２つの半径１の中身の充実した円(２次元単位球)を、その円周について張り合わせたもの
４次元の球面は、２つの半径１の中身の充実した球(３次元単位球)を、その球面について張り合わせたもの
k次元の球面は、２つの半径１の中身の充実した球(k-1次元単位球)を、その球面について張り合わせたもの
$\sum_i^k x_i^2=1$ はk次元単位球面
$\sum_i^k x_i^2 \le 1$ は中身の充実したk次元単位球
k+1次元単位球面は、２つの中身の充実したk次元の球 $\sum_i^k x_i^2 \le 1$ , $\sum_i^k y_i^2 \le 1$ を用意して、その $\sum_i^k x_i^2=1$ と $\sum_i^k y^2=1$ を張り合わせ、 $\sum_i^k x_i^2= r^2$ (または $y_i$ の点には第k+1要素として $\pm \sqrt{1-r^2}$ を与えたようなもの
昨日の記事で、トーラスドーナツを開きにして酔歩の軌跡をプロットしたが、それと同じように「２つの１次元下位の多様体に、張り合わせ部分で移行」するようにすればよい
なお、昨日のトーラスドーナツは、２次元の球(円)を二つ用意し、その球面(円周)を貼り合わせるとともに、２次元球の中央に穴としての２次元球(円)を作り、こちらも貼り合わせるという、「貼り合わせ」^2の処理をしたもの
メモ：http://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem

http://ocw.hokudai.ac.jp/Course/Faculty/Science/AdvancedGeometryI/2004/page/materials/AdvancedGeometryI-2004-Note-01.pdf