解を出したい - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

こちらで２次元座標に周期的状態の相表示がされている
ロトカ=ヴォルテラのごくごく簡単な係数表現は $x+y-\log(x)-\log(y)=C$ である
この式の固定点は(1,1)である
一方、ぐるりと回るものの典型に「円」がある
原点を中心とした円とロトカ=ヴォルテラの周回曲線との関係を考えたい
$(x-\log(x)-1)+(y-\log(y)-1)=R^2$ ( $0 < x,y \le \infty$ )と $z^2+w^2=R^2$ ( $-\infty \le x,w \le \infty$ )とが対応すると決める
前式では $f(x)=x-\log(x)-1$ 、後式では $f(z)=z^2$ と考えれば、どちらも $f(x)+f(y)=R^2$ という曲線であることがわかる
ということは、 $x-\log(x)$ と $z^2$ との間をつなぐ関数があれば正円とロトカ=ヴォルテラの周回曲線とが対応付けできる
今、正円はz,wについて対称、ロトカ=ヴォルテラも今のそれはx,yについて対称なので、 $x=y$ 上の点に関する対応関係を考える
$2(x-\log(x)-1)=R^2$ , $2(z^2)=R^2$ なので、 $2(x-\log(x)-1)=R^2$ の２つの解と $2z^2=R^2$ の２つの解を相互に対応づけることとしよう
さて、そこから先が今回の記事の本題
$2(x-\log(x)-1)=R^2$ の解がほしいが、解けないので、計算機にお願いすることにする
RのrootSolveパッケージを使う。Newton-Raphsonで求める
- 単一の等式 fun=0の解を求めるのがuniroot.all()関数

library(rootSolve)
R<-0.8
fun <- function (x) x-log(x)-1-R^2
All <- uniroot.all(fun,c(0,100),maxiter=10000)
curve(fun(x),0,2*max(All),main="uniroot.all")
points(All,y=rep(0,length(All)),pch=16,cex=2)

- 連立方程式の解を求めるのがmultiroot()関数
  - 以下の例は、x^2+y^2=1とx=2yの交点座標を出している(

model <- function(x) c(F1= x[1]^2+x[2]^2-1,
F2= x[1]-2*x[2])
# first solution
(ss<-multiroot(model,c(1,1),useFortran=FALSE))
(ss<-multiroot(f=model,start=c(1,0)))
# second solution; use different start values
(ss<-multiroot(model,c(-1,0)))