ぱらぱらめくる『素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式』英語版

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日本語版の本

素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式 (シュプリンガー数学リーディングス)

作者:J.H.コンウェイ
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2012/07/17
メディア: 単行本

二次形式について考える
整数係数二次形式は格子とみなせる
- 例えば $f(x,y) = 3x^2 + 6xy - 5y^2$ なる整数係数二次形式は
- $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ なる相互に線形独立な２つのベクトルを取ることにより、 $\mathbf{v} = x \mathbf{e}_1 + y \mathbf{e}_2$ と表される整数係数ベクトルは、 $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ が定める格子を指定する
- このとき二次形式 $f(x,y)$ は格子点に整数を与える関数になっている
この格子点とその値を定める二次形式は、基底の取り方を変え、それに合わせて二次形式の係数を変えて、別の関数表現にすることができる
しかしながら、格子点のパターンとその上の値が同じならば、同値とみなすことができる
したがって、異なる二次形式関数が同じ格子パターン・値分布に対応することとなる
このように、基底の取り方によらな格子パターン・値分布について考えたい
また、二次形式は $f(x,y) = a x^2 + b y^2 + h xy = \begin{pmatrix}x,y\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a, h/2 \\ h/2, b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ と、行列表現ができる
Equivalentな二次形式における、基底の変換による二次関数係数の変化は $\begin{pmatrix} z\\ w \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} =M^T \begin{pmatrix} x, y \end{pmatrix}$ なる変換行列 $M$ があったとき、 $f(x,y) = \begin{pmatrix}x,y \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z,w \end{pmatrix} M^T A M \begin{pmatrix} z \\ w \end{pmatrix}$ なる関係があり
$det(M) = \pm 1$ なので
$det(B) = det(A) det(M) det(M^T) = det(A) (det(M))^2 = det(A)$ という関係がある
このように二次形式は行列表現すると、その行列式が二次形式のequivalentと関係する
Topotreeを描いてみる