グラフのゼータ関数

• 資料
• 伊原のゼータ関数を非正則グラフにまで拡張したのが橋本のゼータ関数で
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    • ただし、uは複素数、mとnはグラフGのエッジ数とノード数、はMの行列式で、Iはノード数ｘノード数の単位行列、AはGの隣接行列、DはGのノードの次数を対角成分とする対角行列
  • ちなみに、グラフラプラシアンはで、これは、ゼータ関数で行列式を取っている部分のに相当する()。
• Bartholdiのゼータ関数は、２つの複素数を取る関数
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    • ここでという関係が成り立つ
• 以下では、複素行列の行列式の計算をするためにcomplexplusパッケージを使っている。伊原のゼータ関数(橋本版)は、Barthroldiの特殊版として書いてある
• 検算例として、ノード数5の完全グラフK5を用いている。K5の伊原のゼータ関数の多項式表現はこちらにあるように(そしてsagemathを導入すれば引き出せるように)、

library(igraph)
library(complexplus)
my.Ihara.zeta.elem <- function(g){
	A <- as.matrix(as_adjacency_matrix(g))
	n.v <- length(V(g))
	n.e <- length(E(g))
	r <- n.e - n.v
	D <- diag(degree(g))
	H <- diag(degree(g)-1) 
	I <- diag(rep(1,n.v))
	return(list(r=r,A=A,H=H,I=I,D=D))
}
my.Ihara.zeta.ori <- function(g,u){
	elem <- my.Ihara.zeta.elem(g)
	1/((1-u^2)^elem$r * Det(elem$I-u*elem$A + u^2*elem$H))
}

my.Bartholdi.zeta <- function(g,u,t){
	elem <- my.Ihara.zeta.elem(g)
	tmp <- (1-(1-u)^2*t^2)^elem$r * Det(elem$I-t*elem$A+(1-u)*(elem$D-(1-u)*elem$I)*t^2)
	return(1/tmp)
}

my.Ihara.zeta <- function(g,u){
	my.Bartholdi.zeta(g,0,u)
}
fu <- function(u){
	tmp <- (-1)*(3*u-1)*(u+1)^5*(u-1)^6*(3*u^2+u+1)^4
	return(1/tmp)
}

#g <- sample_gnp(10, 2/10)
n <- 5
adj <- matrix(1,n,n)
diag(adj) <- 0
g <- graph.adjacency(adj,mode="undirected")

x <- y <- seq(from=-0.8,to=0.8,length=100)

xy <- expand.grid(x,y)
xy. <- xy[,1] + 1i*xy[,2]

vs <- rep(0,length(xy.))
vs2 <- vs
for(i in 1:length(vs)){
	vs[i] <- my.Ihara.zeta(g,xy.[i])
	vs2[i] <- fu(xy.[i])
}
my.Ihara.zeta(g,vs[55])
fu(vs[55])
plot(xy,col=abs(Mod(vs)))