ryamadaのコンピュータ・数学メモ

発散しないARIMA

ARIMA 多項式漸化式

昨日の記事で、ARIMAモデルのarパラメタa1,a2,...は、 $1-a1 x - a2 x^2 - ... = 0$ の根のすべての絶対値が1より大であること、と書き、それを満足するようなarパラメタを生成することを書いた
この多項式の意味は何？
n=1の場合
- $y(t+1) = \alpha y(t) + \epsilon$
- $\epsilon$ は累加しても0周辺だから無視すれば
- $y(t+1) = \alpha y(t)$ なる関係にあるときに $y(t)$ が発散しなければよい
- それは $|\alpha| < 1$
n=2の場合
- $y(t+2) = a_1 y(t+1) + a_2 y(t)$
- これを書き換えて
- $(y(t+2) + s y(t+1)) = \alpha (y(t+1) + s y(t))$ という漸化式で発散しないためには $\alpha$ の絶対値が1未満
- $a_1 = \alpha -s$ , $a_2 = \alpha s$ であるから
- $a_2 = \alpha (\alpha -a_1)$ となり
- $\alpha^2=a_1 \alpha + a_2$ となる
- ここで $\beta = \frac{1}{\alpha}$ とおけば $|\beta| > 1$ であって
- $\frac{1}{\beta^2}= \frac{1}{\beta}(\frac{1}{\beta}a_1 + a_2)$ で
- $1=\beta a_1 + \beta^2 a_2$
- これは、 $1-a_1 x - a_2 x^2=0$ なる方程式の根の絶対値が1より大という意味
n>2もこれの一般化でできる(はず)