n次元曲線 - ryamadaのコンピュータ・数学メモ

動標構とフレネ=セレの係数
- 曲線上の点に定める正規直交座標系で以下の条件を満たす
- 曲線上の等速運動(単位時間あたりの移動距離が１であるような運動)を考える
  - 動標構の第１方向単位ベクトル $e_1$ は、その点での速度ベクトルとする
  - 動標構は曲線上の位置によって(運動について考えれば、時刻によって、等速運動なので、曲線上の距離( $s$ )によって)異なるから、それを定める方向単位ベクトルも位置によって(時刻によって)異なる
  - sは弧長パラメタのこと
  - 今、動標構の第１から第i単位ベクトルまでが、定まっているときに、第i+1単位ベクトルを次のように定める
    - 第iベクトルの時間微分 $\frac{d e_i}{ds}$ があるときに、 $\frac{d e_i}{ds}=\sum_{j}^i a_j e_j +k_{i+1} e_{i+1}$ のように、 $\frac{d e_i}{ds}$ のうち、 $(e_1,...e_i)$ の線形結合で表される部分とそれ以外に分け、 $e_{i+1}$ は $e_1,...,e_i$ のすべてと直交するようにとる
- このようにして第nベクトルまでを決定する
- このとき、 $(e_1,...,e_n)$ が動標構である
- ここで、動標構単位ベクトルの直交関係から
  - $\frac{d e_i}{ds}=- k_{i-1} e_{i-1} +k_{i+1} e_{i+1}$ と項が２つ( $i=2,...,n-1$ の場合となる。
- この結果フルネ=セレの行列が対角成分より１行ずつ上下の成分のみを非ゼロとする行列となる
- また、 $k_2,k_3,...,k_n$ が曲率
- $\begin{pmatrix} 0& \chi_1(s) & ... & 0\\ -\chi_1(s) & 0 & ... & ... \\ ... & ... & ... & ...\\ ... & ... & ... & 0 & \chi_{n-1}(s)\\ ...& ...& -\chi_{n-1}(s)& 0\\ \end{pmatrix}$
この行列は、動標構(moving frame)の弧長パラメタ１次微分を定めるもの
曲線の曲がり具合をn-1段階の階層的パラメタ表示したものである
Moving frameは曲線上に乗せた正規直交基底なので、その変化は『回転』でもある
その視点で曲線を描く方法を変えてみよう(明日の記事)