展開する

• 数学セミナー2010年12月号をめくってみる
• 「多面体の展開図に関する未解決問題」という記事がある
  • ３次元凸多面体の展開図を作るということは、その多面体の頂点と辺から作られるグラフ(多面体グラフ)に、全域木(連結したグラフであって、巡回路がなく、すべての頂点を含む)によって切り開くということ
  • 展開図の中には、開いた後で、展開面同士が重なることもある
  • 同一の展開図から、異なる立体ができることもある
  • どのような３次元凸多面体も、「重ならない」展開図があるかどうかは不明
    • ただし、稜線以外で切り開いてよいのなら、展開できると(星形展開)
• さて、記事から少し離れてみる
  • まず、展開図は、英語では、Net(Wikiはこちら)
  • ２次元凸多面体は、いわゆる、凸多角形。これの展開図は、点で切って、１次元に伸ばすこと。これはできる。１点にて展開される。
  • ３次元凸多面体の展開図は、稜線(頂点を結んだ線)で切り開くこと。全域木にて展開される。２次元空間に開かれる。
  • ４次元凸多面体だとどうなる？４−２＝２次元の何か(それは面)で切り開いて、３次元空間に展開できる（？）
  • さらに高次…
  • 展開を繰り返すとどうなる？
    • たとえば、３次元凸多面体を展開して、２次元展開図にしたあと、これは、凸多角形が辺で接している図だけれども、これをさらに展開して、頂点と辺のみにすることはできるだろう。ただし、それを１次元空間に重ならずに置くことはできなさそう…すくなくとも、ふつうのサイコロの展開図ではそれはできなさそう…。でも、できるような３次元凸多面体はあるのだろうか？展開図を凸多角形の貼り合わせではなく、新たにできた、凹凸のある多角形と考えたら、展開できる？
    • もっと高次の凸包でも、最終的に１次元まで展開できてしまうようなものがある？
  • 今、多次元凸包があって、その表面に１点がある。その点と凸包の点との関係は、着目点からの星形展開に関して表現可能？？？(表現できるのはできるとして、それは、統計処理的に有用？有効？)