京都大学（一般入試）数学の問題を計算機で解く(2019)
問題と解答例はこちらなどで
第一問
- 問１
# 有理数 q = m/n # 適当にたくさんの0以上１以下（cos(2t),cos(3t)の値なので）の有理数を作る。1/3,2/6なども区別せずにさっさと作る N <- 100 n <- 1:N m <- 0:N mn <- expand.grid(m,n) mn <- mn[which(mn[,1] < mn[,2]),] q <- mn[,1]/mn[,2] # 対応する角度を計算する phi <- acos(q) # 対応する角度に2t,３tとなるペアがあるかどうかは、３倍した角度と２倍した角度が一致するかで見れば良い phi.pair <- expand.grid(phi,phi) theta.cand <- which(abs(phi.pair[,1] * 3 - phi.pair[,2] * 2) ==0) theta.cand.pi <- phi.pair[theta.cand,]/pi unique(theta.cand.pi) # 2t = pi/3, 3t = pi/2 が候補であることがわかる
> unique(theta.cand.pi) Var1 Var2 3 0.3333333 0.5
- 問２
- 積分計算。計算機には計算機の流儀がある
- (1)
- 答えは
- 答えは
- (2)
- 答えは
- 答えは
- (1)
- 積分計算。計算機には計算機の流儀がある
f1 <- function(x){ x/cos(x)^2 } integrate(f1,upper=pi/4,lower=0) pi/4 - 1/2 * log(2)
> integrate(f1,upper=pi/4,lower=0) 0.4388246 with absolute error < 4.9e-15 > pi/4 - 1/2 * log(2) [1] 0.4388246
f2 <- function(x){ 1/cos(x) } integrate(f2,upper=pi/4,lower=0) log(sqrt(2)+1)
> integrate(f2,upper=pi/4,lower=0) 0.8813736 with absolute error < 9.8e-15 > log(sqrt(2)+1) [1] 0.8813736
第二問
- またもや、整数・素数問題…（京大の）数学科が計算機科学と違う方向を向いていることを感じさせます
の絶対値が連続して素数になるような整数nを求める問題
- 答えは-3,-2,-1,0
- 列挙でやることにします
# 素数を扱う数論のパッケージをインストールして読み込む install.packages("numbers") library(numbers) isPrime(1:10) # 1から10が素数かどうかの判定 # たくさんの整数を並べる n <- (-1000):1000 # 指定の関数の値を計算する fn <- n^3 + 2 * n^2 + 2 absfn <- abs(fn) # 素数であるものの番地を取り出す oks <- which(isPrime(absfn)) # |f(n)|と|f(n+1)|とが共に素数なので、連続する番地がoksに含まれるはず diff.oks <- diff(oks) # この値が１になって入れば、absfnの隣同士が素数だったことがわかる ans <- which(diff.oks==1) oks[ans] # これが答え n[oks[ans]] absfn[oks[ans]]
> oks[ans] [1] 998 999 1000 1001 > > n[oks[ans]] # 答え [1] -3 -2 -1 0 > absfn[oks[ans]] # |f(n)|の値 [1] 7 2 3 2
第三問
- 鋭角三角形の内部の曲線を１パラメタで指定し、その曲線が区切る領域の面積と三角形の面積との比に関する問題
- 鋭角三角形の頂点Bを原点に、Cを(1,0)とし、頂点Aの座標を
としても一般性を失わない
- まず描図
- 赤い曲線の下の面積が三角形の面積に占める割合を計算機的に求めるために、三角形内部に一様な乱点を発生させ、その点が曲線の上にあるか下にあるかで分類する
- 曲線が正確にも止まっているわけではないので、曲線を構成する点のうち、乱点とx座標が最も近い点を見つけ、それのy座標と乱点のy座標を比較することで、曲線の上下の判定をすることは、点の数が多ければまあ、良いだろうと言う作戦にする
- 割合が答え（1/3)に近いことを示す
# 辺BCの長さを１に固定して、鋭角三角形を一般的に作成し、プロットする B <- c(0,0) C <- c(1,0) r <- runif(1) theta <- runif(1) * pi/2 A <- c(r,r*tan(theta)) plot(rbind(B,C,A)) segments(c(B[1],C[1],A[1]),c(B[2],C[2],A[2]),c(C[1],A[1],B[1]),c(C[2],A[2],B[2])) # パラメタtを用いてくだんの曲線を描く # parameter t t <- seq(from=0,to=1,length=10000) Q <- cbind(t * (C-B)[1]+ (1-t) * (A-B)[1], t*(C-B)[2] + (1-t) * (A-B)[2]) P <- t * Q points(P,col=2,type="l") # 三角形内部の一様乱点はディリクレ乱数で作ることにする library(MCMCpack) N <- 10000 r <- rdirichlet(N,rep(1,3)) R <- cbind(A[1] * r[,1] + B[1] * r[,2] + C[1] * r[,3], A[2] * r[,1] + B[2] * r[,2] + C[2] * r[,3]) # 乱点を表示する points(R,pch=20,cex=0.5,col=4) # Rのx座標と一番近い、曲線のx座標を探す # そしてy座標を比較し、Rのそれが曲線のそれより小さければ、対象領域にあると判断する # 曲線との上下関係を逐一、判定する inOut <- rep(0,N) for(i in 1:N){ rx <- R[i,1] # x座標が最も近い曲線構成点を見つける tmp <- which(abs(rx-P[,1])==min(abs(rx-P[,1]))) ry <- R[i,2] neighbory <- P[tmp,2] # y座標を比較する if(ry < neighbory){ inOut[i] <- 1 } } sum(inOut)/N # この割合が求めたい値。確かに約1/3 plot(rbind(B,C,A)) segments(c(B[1],C[1],A[1]),c(B[2],C[2],A[2]),c(C[1],A[1],B[1]),c(C[2],A[2],B[2])) points(P,col=2,type="l") points(R,pch=20,cex=0.5,col=4+inOut)
> sum(inOut)/N # この割合が求めたい値。確かに約1/3 [1] 0.3332
第四問
- 確率事象は計算機には乱数実験なので楽しい
- サイコロを何度も振りつつ、その途中にある回数目までは４以下しか出ず、その次に初めて５以上がでるようなことは、サイコロを振る回数増えれば、ほとんど起きなくなるのは予想がつく
が答えだと言う
- Rで計算機実験する
n <- 50 # サイコロを続けて振る回数 N.iter <- 1000 # 実験を繰り返す回数 # サイコロの目をランダムに発生 Xs <- matrix(sample(1:6,n*N.iter,replace=TRUE,prob=rep(1/6,6)),ncol=n) # 0回目に振った時の値を0とする、と言う問題条件を追加 Xs0 <- cbind(rep(0,N.iter),Xs) # k-1回目まで…、k回目に…、と言う条件に合うかの判定 meet.cond <- matrix(0,N.iter,n) for(i in 1:N.iter){ for(k in 1:n){ Xk_1 <- Xs0[i,k] Xk <- Xs[i,k] if(Xk_1 <= 4 & Xk >=5){ meet.cond[i,k] <- 1 } } } # n回振って、その経過中に１つのkが条件を満足する、と言うことを計算するために # 条件を満足した回数の累和をとる cum.meet.cond <- t(apply(meet.cond,1,cumsum)) # 都合、１度きり、の条件集計 num.ok.events <- apply(cum.meet.cond,2,function(x){length(which(x==1))}) # 以下が、計算機実験での、確率（振り続けた回数ごとに算出） prob.ans <- num.ok.events/N.iter # いわゆる数学の試験的な答えとしての式があるので、それで計算してやる nn <- 1:n exact.prob <- ((nn-1)*2^(nn)+1)/3^nn # 正確確率と実験的確率の比較 plot(1:n,exact.prob,type="h") # 棒が正確確率 points(1:n,prob.ans,pch=20,col=2) # 赤丸が計算機実験値
第五問
- 球面上の５点が作る四角錐の体積。底面は正方形
- 底面をなす４点のz座標を同じにして話をすることにする。その座標を
とすれば、正方形の面積は
- 底面からの高さは高ければ高いほど体積は大きくなるので、z軸上にピラミッドの頂上の点をとることにする。その点の座標を(0,0,1)と固定し、zbを-1から1まで動かそう
zb <- seq(from=-1,to=1,length=1000) a <- 2 * (1-abs(zb)^2) h <- 1-zb # a*hの最大値をもたらすzbがわかれば良い plot(zb,a*h,type="l") abline(v=-1/3) abline(h=max(a*h))
- 答えはz=-1/3に正方形がある場合で、確かにそうなっている。実際の体積計算には、錐の体積計算のための係数を掛けるなどする必要がある
第六問
を満たす最小の正の整数…
- 馬鹿でかい数だけれども、最近の計算機はこのくらいはものともしない
- 左辺の虚部が消えることから、計算して、実部だけを取り出そう
- 全列挙作戦
n <- 1:100 v <- Re((1+1i)^n + (1-1i)^n) which(v > 10^10) # 絶対値を底10の対数にする方がプロットしやすいので logv <- sign(v) * log10(abs(v)) plot(logv,type="h") abline(h=10,col=2)
- 答えは71
which(v > 10^10) [1] 71 72 73 79 80 81 87 88 89 95 96 97
余代数 Coalgebra
- Coalgebra, 余代数、って何？
- 代数は、集合があって、集合の要素x,yに演算を定めて、
となった時のaが集合に含まれる
- 余代数はその逆で、集合の要素xがあった時に、演算が定めてあって、xによって、集合の要素のどれをどう使うかが決まっていて、その結果、現れるものが、やはり集合の要素である、と言うようなもの
- ポセットのインターバルに余代数が入る、と言うのは、あるインターバルが決まると、それに帰属するインターバルたちが決まり、それらに対してどう言う演算をするかが決まっているのだが、その演算の結果が、やっぱりインターバルだ、と言うそう言うことらしい…
- こちらを参考
接続ホップ代数 Incidence Hopf algebras
この文書(Incidence Hopf algebras)を読んでみる
- ディリクレ級数
- メビウスの反転公式
- ディリクレ畳み込みとメビウス関係・ゼータ関数の関係
- ポセット
- 余代数 coalgebraと接続代数
- Reduced incidence algebra
- 接続代数でのゼータ関数・メビウス関数
- リーマンのゼータ関数の時のメビウス関数と、接続代数のメビウス関数
ディリクレ級数
メビウスの反転公式
- 自然数nを引数とする複素関数g(n)があるとする
- 今、自然数nを引数とする複素関数f(n)を
とする。ただし、
は「nがdで割り切れる」ことを意味する
- このときメビウス関数
を使って
となる
- ここで注意しておきたいことは、
であること
- 以下の２式は、Dirichlet畳み込みと呼ばれる
- なぜDirichlet畳み込みと呼ばれるかと言うと、
と言うnを引数とする関数のディリクレ級数が、
のディリクレ級数と
のディリクレ級数の積になり、また
と言うもう一つのnを引数とする関数のディリクレ級数が
- ちなみに、ディリクレ級数の式の作りが
と関数本体[(tex:f(n)]など)の積になっているため、掛け合わせてnになる
の組み合わせに関する足し合わせ(
)が、ちょうどそのような対応関係を(nが1,2,...と無限に続く限り/全ての場合を尽くす限り)満足させるからである
- ここにも書いていたが、メビウス関数の書き方が悪かった…
- Rでやっておく
ポセット
- 自然数にポセット構造を入れようとすると、単純に、自然数の大小関係により
と言うものが思い浮かぶ
- しかしながら、違う構造も入れられる。nがdで割り切れるとき、nはd以上である、と言うルールもポセットを作る。
は割り切れる、と言う演算を表すものとする（この辺りから、素数、公約数の匂いがしてくる…）
- ポセットでは、「インターバル」と言うものが対象になるが、グラフっぽくイメージしたい時には、自然数に自然に入る大小ポセット
- 割り切れるかどうかで自然数にポセットを作れば、[1,2,4,8]はインターバル、[1,2,6]も[1,3,6]もインターバル
- 連続なポセット構造で言うなら、分岐のある道があって、どの道も一方通行である時に、ある点から別の点に行き着けるとき、その歩き方のそれぞれがインターバル
余代数 coalgebraと接続代数
- ポセットが持つ、インターバル全体の集合が作るベクトル空間はに余代数が入ると言う
- 余代数は代数の逆さまみたいな作りのもののことだが、それについてはこちらに別途、メモをした
- ポセットの余代数における、余積は
だと言う
- そして、そこにおける余積演算をしても変えない元であるcounitは
- 余代数は要素の余積（一つの要素をとって、それが指定する複数の要素の演算結果を返す）があるが、それに対応する代数とその代数の積（複数の要素の演算結果が一つの要素を返す）とに対応づくと言う特徴がある
- この代数と余代数をつなぐのが、畳み込み演算
- ちょっとこの辺りから怪しいのだが…
- 余積の書式は畳み込み演算に見える
- その際の畳み込みは、行列の積になる
- 単なる自然数の大小関係ポセットの場合には、自然数列x自然数列の行列を作れば、値の入り方は三角行列的になる
Reduced incidence algebra
- 接続代数に少し制約を入れる
と
とがisomorphicな時に
であるような場合に限るという制約
- こうすると
とに同じ値を与える関数を考えることができるようになって、全てのインターバルに対する値を、0起源の値とすることができて、自然数の数列として扱えるようになる
隣接代数
- こちらで代数的確率論・量子確率論のことを書いた
- その中に出てくる隣接代数というものを整理する
- 隣接行列とは、いわゆるグラフ
の
行列のことで、エッジで結ばれたノードに対応する要素が１でそれ以外が０であるような行列のこと
- グラフは有限かも無限かもしれないないけれど、「局所有限」であることを仮定することもできる（こともある）
- 局所有限とは、全てのノードの次数が有限であることである
- そうすると、隣接行列のm乗
を考えたとき、
の和の中に現れる項のうち有限個のものだけが非０であるので、
は隣接代数を構成することが示せる
- さらに、
- これがグラフGの隣接代数
- *-代数には対合の存在が必要だがそれは
で与えられる
数学の言い回し in English
- 数学で物書きをするときに、"Suppose ...." と書くのか "Assume ...."と書くのか、"Let... "とはどういう関係？と思って調べ事をするも、こんなサイトに行きついたりする
- 一般言語としての違いはどうかと言えばこんなところに『思いの強さ（think、believe、feel、suppose、guess、expect、consider、assume、imagine、conceive～思う（動詞）の英単語の違い）』の情報はある
- 同じく一般言語として『結論付けたり、意見を述べたりする動詞(conjecture、infer、speculate、deduce、conclude、gather～推測、結論（動詞）の英単語の違い)』の情報はこんな風にまとまっている
- だがやはり、数学の書き物の場合と一般文書とでは違うように思うので、ちょっと長めの文章(A COOK-BOOK OF MATHEMATICS)でひたすら「数学的コンテンツ」では「ない」部分の単語の使い方に注目して拾い出してみることにする
- This statement is true ( or false). この命題は真
- Basic terms : Negation (Not A), Conjunction (A and B), Disjunction (A or B)、Aではない、AかつB、AまたはB
- A implies B: A is sufficient condition for B. B is necessary condition for A. A ならばB、AはBの十分条件、BはAの必要条件
- A and B are equivalent . A is necessary and sufficient for B. B is necessary and sufficient for B. 同値 必要十分条件
- Linear algebra
- An m × n matrix is a rectangular array of real numbers with m rows and n columns. m x n is called dimension of A or order of A. と言う
- "A subscribed element" Aの下文字付要素
- A shorthand notation of
簡略表現
- A vector is a special case of a matrix ベクトルは行列の特殊な場合
- Given two matrices, A and B,
２つの行列A、Bが与えられたとき（２つの行列A,Bについて）…
- Only if A and B are of the same dimension, A,Bが同じ次元のときに限り
- If A is m x n and B is n x k, and
, C is m x k. Note the dimenstions of A, B and C. A,B,Cの次元に注意
- "In order to get the element cij of matrix C you need to multiply the ith row of matrix A by the jth column of matrix B." 行列Cのi行j列の要素を得るには、行列Aのi行と行列Bのj列の掛け算をする必要がある
- A system of m linear equations for n unknowns can be written as
, where
. n個の未知数のためのm連立方程式はAx =b と書ける
- premultiplication by A (Aを前から掛ける A(B+C))
- postmultiplication by A (Aを後ろからかける (B+C)A)
- The commutative law of multiplication is not applicable in the matrix case,
通用しない、当てはまらない
- We introduce the identity matrix of dimension
as
. n次元単位行列を
とする（導入する）
- Note that ... . ...であることに注意
has the following properties: ...は以下のような (":", "|"はsuch thatの意味で用いられることが多い）特徴を有する
- In this sense, the identity matrix corresponds to 1 in the case of scalars. この意味で、単位行列は、スカラーにおける１に相当する
- Non-zero elements of a diagonal matrix only appear on the principle diagonal. 対角行列の非零要素は主対角部にのみ現れる
- We say that B is the transpose of A if ... ...である場合に、BはAの転置であると言う
- Usually transposes are denoted as
or
. 通常、転置（行列）は、…と表す
- The transpose
by making the columns of A into the rows of
得られる
, where
is a real number. ただし、…は実数
- If
, A is called orthogonal. ....ならば、Aは直交（行列）と呼ばれる・言われる
- The inverse matrix
is defined as
. ...と定義される
- Note that A as well as
- We can easily check
. ...と簡単に確かめることができる
- Not all square matrices have their inverses. すべての正方行列が逆行列を持つわけではない
- If A does B, it is called regular. Otherwise it is called singular. AがBするならregularと呼ばれる・言われる。そうでない場合にはsingularと呼ばれる・言われる
- The formal definition of X is as follows: given Y,
, where P is Q. Xの正式な定義
は次のようになる。Yが与えられたとき、
と表される。ただし、PはQである
- Usually we denote the determinant of A as det(A) or |A|. 通常、Aのデターミナントをdet(A)、または|A|と書く・と表す
- We can give an alternative definition of X. Given the fact that Y, we arrive at following; Xには別の定義を与えることもできる。Yであるという事実が与えられたとき、次のような（定義）に行きつく
- Definition Formula Z. Here X is Y. 定義 式Z。（,ではなく、.で定義が終わっている）ただし、XとはYのことである。whereを使うのは、","に引き続いて条件を書き続ける場合。ピリオドで終えてしまった後に、用いた記法の説明を追記するには、Hereで始める
- In general,
. (特別な場合は除いて）一般に
- The multiplication of any one row by a scalar k will change the value of the determinant k-fold. …の値をk倍にする
- The interchange of any two rows will alter the sign of the determinant. 任意の２行の交換により、デターミナントの符号は変わる
- .... (a statement on the operations for rows). The same holds true for columns. 列に関しても同じことが成り立つ
- X is not affected by Y. XはYの影響を受けない。YによってXは変わらない
- Using these rules, we can simplify the matrix. これらのルールにより（を使うことにより）、行列を単純化できる
- Assume that matrix A is invertible. 行列Aが逆行列を持つとする（持つものと考えよ）・持つと仮定する（と仮定せよ）
- Xs are Y if and only if Z. XsがYなる必要十分条件はZである (ZのときにXsはYであることが成り立ち、それが成り立つのはその時に限る）
- if and only if there exist numbers
not all zero, such that, ... すべてが0ではないような数の列…があって、...の条件を満たすような
- n vectors are said to span an n-dimensional vector space or to constitute a basis in an n-dimentional vector space. n個のベクトルがn次元ベクトル空間を張ると言う、または、n-次元ベクトル空間の基底を構成する、と言う
- the maximum number of linearly independent rows is equal to 2. 線形独立な行の（組み合わせの）最大数は２に等しい
- Using the notion of rank, we can re-formulate the condition for non-singularity: ランクという概念を使うことで、非特異条件を次のように言い換えることができる
- If
then the system has a unique trivial solution. …ならば…
- Since
. …が存在するので、解 x はとして得られる。Since ... が示す「理由」は読み手にとってすでに明らかな「理由」だとのこと(こちら)
- We perform the same elementary row operations on matrix A and vector b until A has been reduced to an identity matrix. 行列Aが単位行列になるまで、行列Aとベクトルbとに繰り返し初等的な行演算を実施する
- The vector b will then become the solution. ベクトルbはその結果、解となる
- We can consequently find all elements of vector x using the following formula: 次に示す式を用いることで、ベクトルxの全要素を求めることができる
- Let us solve the following equation for
. 以下の方程式を
- Consider a market for three goods. ３つの商品の市場を考える(ことにする)
- Let us denote
Aを...、Bを...と表すことにしよう(表すことにする）
, which implies [P = A^{-1} B]. …すなわち、[P = A^{-1} B]と言うことである
- The HOGE model addresses the following planning problem: HOGEモデルは次のような計画問題を扱う・取り上げる
- Assume that n industries produce n goods and ... n個の企業がn種類の商品を生産するものとする (Considerと比べて、仮の設定の具体性が高いように思われる）
- If we denote an additional demand for good i by
, then the optimality condition reads as follows: 商品 i の追加需要を
-
- ... we find the solution (a,b,c). ...解が(a,b,c)とわかる
- A quadratic form Q in n variables
is a polynomial expression in which each component term has a degree two. n変数の二次形式Qは、多項式表現であって、その多項式を構成する各項が次数２であるもののことである
- For convenience, we assume that
,... 簡単のために、…と仮定すれば...
- If we replace
with
in the above statement, it gives us ... 上の命題の…を...に取り換えると、…となる
- Any number
such that the equation
has a non-zero vector-solution x is called an eigenvalue. …なる等式がnon-zeroベクトルであるような解を持つなら、そのような数
- The objects of a vector space V are called vectors. ベクトル空間Vの「オブジェクト」「存在する対象」
- Define
. …と定義せよ （と言うように
を定義せよ・定義する）
- （そのうえで）Consider
… を...とする（と考える）
- It is not difficult to verify that
- If
, the norm of u can be introduced as ... (ベクトル空間のノルムは（先に示したようにこれこれだったから）、（このように定義した)uのノルムは、…となる（というように書き表されることになる）
- Let U, V be two vector spaces. U,Vを２つのベクトル空間とする
- Calculus
- The function f(x) has a limit A as x approaches a if for each given number
, no matter how small, there exists a positive number
( that depends on
) such that
whenever
.定型的な極限の表現
- Suppose f(x) and g(x) are differentiable. …と仮定する （その仮定が成り立たないことも（多々）あるようなときに、話を進めるために、制約を入れていこうとする感じ）
- In general, any functions built from continuous functions by additions, subtractions, multiplications, divisions and compositions is continuous where defined. ...から…で作られた関数はいずれも、定義された範囲で、...である
- Geometrically speaking, the derivative represents the slope of the tangent line to f at x. 幾何学的に言えば、導関数はfの
- The function f(x) has a limit A as x approaches a if for each given number
xにおける接線の傾きを表す
-
- The symbol
denotes an operator of taking the n-th derivatives of a function with respect to x. 記号
- Let
. We can decompose as
, where
.
- if x=u(t) and y=v(t) (i.e., x and y are parametrically defined) ,... xとyを媒介変数で定義
- If a function f is a product (or quotient) of a number of other functions, logarithmic function might be helpful while taking the derivative of f. 関数fが多くの関数の積（または商）であるなら、fの導関数を取る際に、対数関数が便利
- If y = f(x) and dx is any number then the differential of y is defined as dy = f'(x). y=f(x)とdxが数値であるなら、yの微分は…と定義される。
- Recall the meaning of the first and the second derivatives of a function f. ...であった。したがって（...であったことを思い出せ。そうすれば、…がわかる）
- This gives us an insight into how to verify that at a stationary point we have a maximum or minimum. このことから、（確認された・対象にしている）停留点が極大か極小かを確かめる方法について見極めることができるようになる
- To compensate for this, we can extend the latter result and to apply the following general test: これ（この不具合）を補うために、後者の結果を拡張し、次に示す一般的な検査法を適用することとする
- Show that if .... , then .... …なら…であることを示せ
- Instead of X, we may resort to the method Y. Xの代わりに、方法Yを使うことにすることもできる
- The symbol
- このくらいで、結構、わかったかも。そんなに表現は多くない
- 似たような用途に使う単語・表現もある程度ニュアンスの違いがあることはわかった
